Nos problemas 1-8, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
y^prime prime+4 y=8 sen 2 t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 8,sin(2t)
Conteúdo: método dos coeficientes indeterminados para encontrar solução particular quando o termo forçante é combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos.

Passo 2

Verificação do tipo do termo forçante: aqui o lado direito é 8,sin(2t), que é um seno de frequência constante. Esse é exatamente um dos tipos de funções para os quais o método dos coeficientes indeterminados se aplica.

Passo 3

Análise da equação homogênea associada: a equação homogênea é
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 implies r = pm 2i
Isso gera como solução homogênea
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)
Note que cos(2t) e sin(2t) já aparecem na solução homogênea.

Passo 4

Conclusão sobre o palpite para a particular: como há ressonância (a frequência 2 coincide com as raízes imaginárias da homogênea), devemos multiplicar o palpite usual por t. Assim, o método dos coeficientes indeterminados pode ser usado, mas com suposição
yp(t) = tl(Acos(2t) + Bsin(2t)r)

Resposta

O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado. Devido à ressonância com pm2i, adotamos o palpite particular yp(t)=tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r).

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