Nos problemas 9-26, encontre uma solução particular para a equação diferencial.
2 z^prime prime+z=9 e^2 z

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial
2,z'' + z = 9,e^2z
Uma técnica comum é tentar uma solução constante, ou seja,
zp(t)=a,
onde a é constante. Nesse caso, zp''=0.

Passo 2

Substituindo zp(t)=a na equação, obtemos
2cdot0 + a = 9,e^2a,
ou seja,
a = 9,e^2a
Reescrevendo,
a e^-2a = 9
Multiplicando ambos os lados por -2, fica
(-2a),e^-2a = -18

Passo 3

Reconhecemos o lado esquerdo na forma u e^u se definirmos
u = -2a
Então temos
u e^u = -18,
cuja solução em termos da função de Lambert W é
u = W(-18)
Voltando a a,
a = -u2 = -12,W(-18)

Resposta

Uma solução particular (constante) é
boxedzp(t) = -tfrac12,Wl(-18r),
onde W é a função de Lambert.

Exercícios relacionados