2^a Questão: Calcu<= as seguintes integrais definidas: ã
(e) integral0^pi|sin x cos x| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi l|sin xcos xr|,dx
O conteúdo aqui é valor absoluto de função trigonométrica. Vamos precisar identificar onde sin xcos x muda de sinal e usar a identidade
sin xcos x = tfrac12,sin(2x),
além de usar simetria para simplificar.

Passo 2

Determinar os pontos em que sin xcos x=0. Como
sin xcos x=tfrac12sin(2x),
temos zeros em 2x=kpiRightarrow x=0,tfracpi2,pi. Num esboço rápido nota-se que em 0<= x<=tfracpi2 a função é não-negativa e em tfracpi2<= x<=pi é não-positiva. Logo
integral0^pil|sin xcos xr|,dx =integral0^tfracpi2sin xcos x,dx +integraltfracpi2^pil(-sin xcos xr),dx =2integral0^tfracpi2sin xcos x,dx

Passo 3

Calcular
I=integral0^tfracpi2sin xcos x,dx
Use u=sin x, du=cos x,dx, então
I=integralu(0)=0^u(tfracpi2)=1u,du =l[tfrac12u^2r]0^1 =tfrac12
Portanto a integral original vale
2I=2cdottfrac12=1

Resposta

1

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