Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
(a) z=x y, z=0, y=x, x=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z = x,y, z = 0, y = x, x = 1
Aqui o plano z=0 é a base e z=xy é o teto do sólido. Para fechar completamente a região no plano xy precisamos também do eixo y=0 (caso contrário a região ficaria aberta para ytoinfty). Logo, a projeção D no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1), ou seja,
0 <= y <= x <= 1
O conteúdo da matéria aqui é o uso de integrais duplas para calcular volumes sob superfícies.

Passo 2

O volume V do sólido é dado por
V = integral duplaD l(teto - baser),dA = integral duplaD l(xy - 0r),dA = integral duplaD x,y ,dA
Como D está descrito por 0<= y<= x<=1, podemos escolher a ordem de integração
integralx=0^1!integraly=0^x x,y ,dy,dx

Passo 3

Vamos primeiro integrar em y, tratando x como constante:
integraly=0^x x,y ,dy = x integral0^x y ,dy = x [y^22]0^x = x cdot x^22 = x^32

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
V = integralx=0^1 x^32,dx = 12integral0^1 x^3,dx = 12[x^44]0^1 = 12cdot14 = 18

Resposta

O volume do sólido é 18.

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