;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. Vamos usar teoria de equações diferenciais: achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, consideramos a equação associada
A equação característica é
, que tem raiz dupla
. Então a solução homogênea é
Passo 3
Propondo uma solução particular para o termo não-homogêneo, como a parte direita é polinomial de grau 1, usamos o palpite
Calculamos
e
para substituir na EDO.
Passo 4
Substituindo em
obtemos
que implica
Igualando coeficientes vem
e
, logo
. Assim
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Passo 6
Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada geral usando regra do produto:
Passo 7
Em
, a condição
dá
e a condição
dá
Daí
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a resposta final.