w^prime prime-2 w^prime+w=6 t-2;
w(-1)=3 ; w^prime(-1)=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
w''-2w'+w=6t-2,
sujeita às condições iniciais w(-1)=3 e w'(-1)=7. Vamos usar teoria de equações diferenciais: achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos a equação associada
w''-2w'+w=0
A equação característica é r^2-2r+1=0, que tem raiz dupla r=1. Então a solução homogênea é
wh(t)=(C1+C2t)e^t

Passo 3

Propondo uma solução particular para o termo não-homogêneo, como a parte direita é polinomial de grau 1, usamos o palpite
wp(t)=at+b
Calculamos wp'=a e wp''=0 para substituir na EDO.

Passo 4

Substituindo em w''-2w'+w=6t-2 obtemos
0-2a+(at+b)=6t-2
que implica
at+(b-2a)=6t-2
Igualando coeficientes vem a=6 e b-2a=-2, logo b=10. Assim
wp(t)=6t+10

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
w(t)=(C1+C2t)e^t+6t+10

Passo 6

Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada geral usando regra do produto:
w'(t)=l(C1+C2tr)'e^t+(C1+C2t)e^t+6=(C2+C1+C2t)e^t+6

Passo 7

Em t=-1, a condição w(-1)=3
(C1-C2)e^-1+4=3,implies,C1-C2=-e
e a condição w'(-1)=7
C1e^-1+6=7implies C1=e
Daí C2=2e.

Passo 8

Substituindo C1=e e C2=2e na solução geral, obtemos a resposta final.

Resposta

w(t)=e(1+2t)e^t+6t+10

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