y^prime prime-3 y^prime+2 y=cos t;
y(0)=0, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = cos t,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-1. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular para o termo cos t e, por fim, ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 3y' + 2y = 0
Escrevendo a equação característica,
r^2 - 3r + 2 = 0,
temos raízes r=1 e r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^2t

Passo 3

Para a particular, como o termo forçante é cos t e não há ressonância (1 e 2 não coincidem com pm i), propomos
yp(t) = Acos t + Bsin t

Passo 4

Calculamos derivadas de yp:
yp'(t) = -Asin t + Bcos t,
yp''(t) = -Acos t - Bsin t
Substituindo em y'' - 3y' + 2y:
yp'' - 3yp' + 2yp = (-Acos t - Bsin t) -3(-Asin t + Bcos t) +2(Acos t + Bsin t),
que reúne-se em
(A - 3B)cos t + (3A + B)sin t
Para ser igual a cos t, deve satisfazer
A - 3B = 1, 3A + B = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
A - 3B = 1, 3A + B = 0
da segunda equação vem B=-3A. Substituindo na primeira:
A - 3(-3A) = A + 9A = 10A = 1 implies A = tfrac110, B = -tfrac310
Portanto
yp(t) = tfrac110cos t - tfrac310sin t

Passo 6

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^2t + tfrac110cos t - tfrac310sin t
Derivando:
y'(t) = C1 e^t + 2C2 e^2t - tfrac110sin t - tfrac310cos t

Passo 7

Usamos as condições iniciais em t=0:
y(0) = C1 + C2 + tfrac110 = 0 implies C1 + C2 = -tfrac110,
y'(0) = C1 + 2C2 - tfrac310 = -1 implies C1 + 2C2 = -1 + tfrac310 = -tfrac710

Passo 8

Resolvendo
C1 + C2 = -tfrac110, C1 + 2C2 = -tfrac710,
subtraindo a primeira da segunda dá C2 = -tfrac35. Logo
C1 = -tfrac110 - C2 = -tfrac110 + tfrac35 = tfrac12

Resposta

boxedy(t) = 12e^t ;-;35e^2t;+;110cos t;-;310sin t

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