O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais e . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular para o termo e, por fim, ajustamos as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
Escrevendo a equação característica,
temos raízes e . Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a particular, como o termo forçante é e não há ressonância (1 e 2 não coincidem com ), propomos
Passo 4
Calculamos derivadas de :
Substituindo em :
que reúne-se em
Para ser igual a , deve satisfazer
Passo 5
Resolvendo o sistema
A - 3B = 1, 3A + B = 0
da segunda equação vem B=-3A. Substituindo na primeira:
A - 3(-3A) = A + 9A = 10A = 1 implies A = tfrac110, B = -tfrac310
Portanto
yp(t) = tfrac110cos t - tfrac310sin t
Passo 6
A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^2t + tfrac110cos t - tfrac310sin t
Derivando:
y'(t) = C1 e^t + 2C2 e^2t - tfrac110sin t - tfrac310cos t