;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido é EDO linear de 2ª ordem: vamos precisar achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular (método dos coeficientes indeterminados) e depois usar as CI para fixar as constantes.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada:
A equação característica é
, cujas raízes são
e
. Logo,
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Note que o termo não homogêneo é
e como
resolve a homogênea, tentamos
Calculando derivadas:
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
, então
e fica
Assim,
Passo 4
A solução geral é
Derivando:
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais em
:
ou seja
e
portanto
Passo 6
Chamando
e
, temos o sistema
Subtraindo,
dá
e
. Então
Passo 7
Substituindo em
, obtemos
Agrupando,