z^prime prime+5 z^prime-6 z=21 e^t-1;
z(1)=-1, z^prime(1)=9

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
z''+5z'-6z=21e^t-1,
com condições iniciais z(1)=-1 e z'(1)=9. O conteúdo envolvido é EDO linear de 2ª ordem: vamos precisar achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular (método dos coeficientes indeterminados) e depois usar as CI para fixar as constantes.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada:
zh''+5zh'-6zh=0
A equação característica é r^2+5r-6=0, cujas raízes são r=1 e r=-6. Logo,
zh(t)=C1e^t+C2e^-6t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular zp. Note que o termo não homogêneo é
21e^t-1=21e^-1e^t,
e como e^t resolve a homogênea, tentamos
zp(t)=Ate^t
Calculando derivadas:
zp'=Ae^t(t+1),
zp''=Ae^t(t+2)
Substituindo em z''+5z'-6z:
Ae^t(t+2)+5Ae^t(t+1)-6Ate^t=7Ae^t
Isso deve ser igual a 21e^-1e^t, então
7A=21e^-1
e fica
A=3e^-1
Assim,
zp(t)=3e^-1te^t=3te^t-1

Passo 4

A solução geral é
z(t)=zh+zp=C1e^t+C2e^-6t+3te^t-1
Derivando:
z'(t)=C1e^t-6C2e^-6t+3(t+1)e^t-1

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em t=1:
z(1)=C1e+C2e^-6+3 =-1
ou seja
C1e+C2e^-6=-4,
e
z'(1)=C1e-6C2e^-6+3cdot2=-1+6=9
portanto
C1e-6C2e^-6=3

Passo 6

Chamando A=C1e e B=C2e^-6, temos o sistema
A+B=-4, A-6B=3
Subtraindo, -7B=7 B=-1 e A=-3. Então
C1=-3/e,
C2=-e^6

Passo 7

Substituindo em z(t), obtemos
z(t)=-3ee^t - e^6e^-6t+3te^t-1=-3e^t-1-e^6(1-t)+3te^t-1
Agrupando,
z(t)=3(t-1)e^t-1-e^6(1-t)

Resposta

z(t)=3(t-1)e^t-1-e^6(1-t)

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