w^prime prime+w=t^2+2;
w(0)=1, w^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
w'' + w = t^2 + 2
sujeita às condições iniciais
w(0) = 1, w'(0) = -1
O método consiste em escrever a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea
w'' + w = 0
a equação característica é
r^2 + 1 = 0
com raízes r=pm i. Logo a solução homogênea é
wh(t) = C1 cos t + C2 sin t

Passo 3

Buscando uma solução particular por coeficientes indeterminados, tentamos
wp(t) = a,t^2 + b,t + c
Então
wp''(t) = 2a
e
wp'' + wp = 2a + (a,t^2 + b,t + c) = a,t^2 + b,t + (2a + c)
Igualando ao termo de forçante t^2 + 2 obtém-se
a = 1, b = 0, 2a + c = 2 ;Longrightarrow; c = 0
Portanto
wp(t) = t^2

Passo 4

A solução geral é
w(t) = C1 cos t + C2 sin t + t^2
e sua derivada é
w'(t) = -C1 sin t + C2 cos t + 2t

Passo 5

Aplicando as condições iniciais em t=0:
w(0) = C1 + 0 + 0 = 1 ;Longrightarrow; C1 = 1,
w'(0) = 0 + C2 + 0 = -1 ;Longrightarrow; C2 = -1
Substituindo em w(t) resulta
w(t) = cos t - sin t + t^2

Resposta

w(t) = cos t - sin t + t^2

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