y^prime prime-y=t-2 ; y(2)=3, y^prime(2)=0

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - y = t - 2,
com condições iniciais em t=2:
y(2)=3, y'(2)=0
Para resolver, vamos usar o método geral: primeiro achamos a solução da parte homogênea, depois uma solução particular por coeficientes indeterminados, e por fim aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - y = 0
A equação característica associada é
r^2 - 1 = 0 Longrightarrow r = pm 1
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-t

Passo 3

Para a solução particular yp, como o termo não-homogêneo t-2 é um polinômio de grau 1, assumimos
yp(t) = a,t + b
Então
yp''(t) = 0,
e
yp'' - yp = -l(a,t + br)
Queremos
-l(a,t + br) = t - 2,
logo
-a = 1, -b = -2 Longrightarrow a = -1, ;b = 2
Portanto
yp(t) = -t + 2

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-t - t + 2

Passo 5

Derivando,
y'(t) = C1 e^t - C2 e^-t - 1

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=2:
y(2)=3 ;Longrightarrow; C1 e^2 + C2 e^-2 - 2 + 2 = 3 ;Longrightarrow; C1 e^2 + C2 e^-2 = 3,
y'(2)=0 ;Longrightarrow; C1 e^2 - C2 e^-2 - 1 = 0 ;Longrightarrow; C1 e^2 - C2 e^-2 = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema
C1 e^2 + C2 e^-2 = 3, C1 e^2 - C2 e^-2 = 1,
somando as duas equações:
2,C1 e^2 = 4 Longrightarrow C1 e^2 = 2 Longrightarrow C1 = 2e^-2
Substituindo em C1 e^2 + C2 e^-2=3:
2 + C2 e^-2 = 3 Longrightarrow C2 e^-2 = 1 Longrightarrow C2 = e^2

Passo 8

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(t) = 2e^-2e^t + e^2e^-t - t + 2 = 2e^,t-2 + e^,2-t - t + 2

Resposta

boxedy(t) = 2e^,t-2 + e^,2-t - t + 2

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