y^prime prime-6 y^prime+5 y=t e^t;
y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 5y = t,e^t
com condições iniciais y(0)=2, y'(0)=-1. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular e depois ajustar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução complementar yc resolvendo a equação característica
r^2 - 6r + 5 = 0 Longrightarrow r = 1,,5
Logo
yc(t) = C1 e^t + C2 e^5t

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é t e^t e e^t já é solução homogênea, tentamos
yp(t) = (A t^2 + B t),e^t
Calculamos derivadas:
yp' = l(A t^2 + (2A+B)t + Br)e^t,
yp'' = l(A t^2 + (4A+B)t + (2A+2B)r)e^t
Substituindo em y''-6y'+5y obtemos
yp'' - 6yp' +5yp = e^tl[(-8A),t + (2A-4B)r]
Igualando a t e^t dá o sistema
-8A = 1, 2A - 4B = 0 Longrightarrow A = -tfrac18,;B = -tfrac116
Logo
yp(t) = -tfrac116(2t^2 + t),e^t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C1 e^t + C2 e^5t - tfrac116(2t^2 + t),e^t
Derivando,
y'(t) = C1 e^t + 5C2 e^5t ;-;tfrac116(2t^2 + 5t + 1),e^t

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
y(0)=2;Longrightarrow;C1 + C2 = 2,
y'(0)=-1;Longrightarrow;C1 +5C2 - tfrac116 = -1 ;Longrightarrow; C1 + C2 = 2, C1 + 5C2 = -1 + tfrac116 = -tfrac1516,
resolvendo vem
C2 = -tfrac4764, C1 = 2 - C2 = tfrac17564

Resposta

y(t) = 17564e^t ;-;4764e^5t ;-;116(2t^2 + t),e^t

Exercícios relacionados