y^prime prime-2 y^prime-y=e^2 t-e^t;
y(0)=1, y^prime(0)=3

Passo 1

Resumindo, temos a EDO não homogênea de coeficientes constantes
y'' - 2y' - y = e^2t - e^t,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=3. O conteúdo é solução de EDO de segunda ordem: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma solução particular e, por fim, ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' - y = 0
Montamos a equação característica r^2 - 2r -1 = 0, cujas raízes são
r = 1 pm raiz2
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^(1+raiz2)t + C2 e^(1-raiz2)t

Passo 3

Para a solução particular, tentamos a soma de exponenciais semelhantes ao lado direito:
yp(t) = A e^2t + B e^t
Calculamos as derivadas
yp' = 2A e^2t + B e^t, yp'' = 4A e^2t + B e^t
e substituímos na EDO:
(4A e^2t + B e^t) -2(2A e^2t+B e^t) - (A e^2t+B e^t) = e^2t - e^t
Isso dá, para e^2t: -A = 1implies A=-1, e para e^t: -2B = -1implies B=tfrac12. Assim
yp(t) = -e^2t + tfrac12 e^t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^(1+raiz2)t + C2 e^(1-raiz2)t - e^2t + tfrac12 e^t
Impondo y(0)=1 e y'(0)=3, obtemos o sistema
C1 + C2 -1 + tfrac12 = 1, C1(1+raiz2) + C2(1-raiz2) -2 + tfrac12 = 3
Simplificando:
C1 + C2 = tfrac32, C1(1+raiz2) + C2(1-raiz2) = tfrac92

Passo 5

Resolvendo o sistema,
C1 = 3(raiz2+1)4, C2 = 3(1-raiz2)4
Portanto a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(t) = 3(raiz2+1)4,e^(1+raiz2)t + 3(1-raiz2)4,e^(1-raiz2)t - e^2t + tfrac12 e^t

Resposta

y(t) = 3(raiz2+1)4,e^(1+raiz2)t + 3(1-raiz2)4,e^(1-raiz2)t - e^2t + tfrac12 e^t

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