y^prime prime-4 y^prime+5 y=4 e^3 t;
y(0)=2, y^prime(0)=7

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 5y = 4e^3t,
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=7.
O conteúdo aqui é resolver a parte homogênea via equação característica, achar uma solução particular por coeficientes a determinar e depois usar as condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

Começamos pela solução da equação homogênea
y'' - 4y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 5 = 0,
cuja solução é
r = 4 pm raiz16 - 202 = 2 pm i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Para a solução particular yp(t), como o segundo membro é 4e^3t, tentamos
yp(t) = A e^3t
Então
yp' = 3A e^3t, yp'' = 9A e^3t
Substituindo na equação original:
9A e^3t -4cdot 3A e^3t +5A e^3t = (9A -12A +5A)e^3t = 2A e^3t
deve ser igual a 4e^3t. Daí 2A = 4, logo
A = 2
e
yp(t) = 2e^3t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr) + 2e^3t

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
  1. Em t=0:
y(0) = C1 + 2 = 2 Longrightarrow C1 = 0
  1. Calculamos y'(t). Derivando
y'(t) = ddtl[e^2t(C1cos t + C2sin t)r] + 6e^3t = e^2tl[(2C1 + C2)cos t + (2C2 - C1)sin tr] + 6e^3t
Em t=0:
y'(0) = (2C1 + C2) + 6 = 7
Como C1=0, temos C2 + 6 = 7, logo
C2 = 1

Passo 6

Substituindo C1=0 e C2=1 na solução geral:
y(t) = e^2tsin t + 2e^3t

Resposta

y(t) = e^2tsin t + 2e^3t

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