;
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
O conteúdo aqui é resolver a parte homogênea via equação característica, achar uma solução particular por coeficientes a determinar e depois usar as condições iniciais para fixar as constantes.
O conteúdo aqui é resolver a parte homogênea via equação característica, achar uma solução particular por coeficientes a determinar e depois usar as condições iniciais para fixar as constantes.
Passo 2
Começamos pela solução da equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
, como o segundo membro é
, tentamos
Então
Substituindo na equação original:
deve ser igual a
. Daí
, logo
e
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Impondo as condições iniciais:
- Em
:
- Calculamos
. Derivando
Em
:
Como
, temos
, logo
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral: