Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Observamos que o lado direito da equação é
, que não é uma função da forma dos termos da solução homogênea. Portanto, podemos tentar uma solução particular do tipo
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Como queremos que a igualdade seja válida para todos os
, isso não é possível, pois
varia com
. Isso indica que nossa tentativa de solução particular não funciona.
Passo 7
Diante disso, precisamos escolher outra forma para a solução particular. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso também não funciona, pois a igualdade não é válida. Portanto, precisamos tentar outro método, como a variação das constantes.
Passo 9
Usando a variação das constantes, assumimos que as constantes
e
na solução homogênea são funções de
:
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 10
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Para simplificar, podemos escolher que:
Passo 11
Resolvendo
:
Integrando ambos os lados:
onde
é uma constante de integração que podemos desprezar na solução particular.
Passo 12
Como
, então
é uma função linear:
Para a solução particular, podemos considerar
, então:
Substituindo de volta na expressão da solução particular:
Para simplificar, assumimos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.