Resolver as seguintes equações diferenciais:
d^2 yd x^2+y=1cos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
d^2 yd x^2 + y = 1cos x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
d^2 yd x^2 + y = 0
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por:
yh(x) = C1 cos x + C2 sin x
onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp(x) ) para a equação completa:
d^2 yd x^2 + y = 1cos x
Observamos que o lado direito da equação é 1cos x = sec x , que não é uma função da forma dos termos da solução homogênea. Portanto, podemos tentar uma solução particular do tipo yp(x) = A sec x , onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp(x) = A sec x :
Primeira derivada:
d ypd x = A sec x tan x
Segunda derivada:
d^2 ypd x^2 = A ( sec x tan^2 x + sec^3 x )

Passo 5

Substituindo yp(x) e suas derivadas na equação original:
A ( sec x tan^2 x + sec^3 x ) + A sec x = sec x
Fatorando A sec x :
A sec x ( tan^2 x + sec^2 x + 1 ) = sec x
Sabemos que tan^2 x + 1 = sec^2 x , então:
A sec x ( sec^2 x + sec^2 x ) = sec x
A sec x (2 sec^2 x) = sec x
2A sec^3 x = sec x

Passo 6

Para encontrar A , dividimos ambos os lados por sec x :
2A sec^2 x = 1
Como queremos que a igualdade seja válida para todos os x , isso não é possível, pois sec^2 x varia com x . Isso indica que nossa tentativa de solução particular não funciona.

Passo 7

Diante disso, precisamos escolher outra forma para a solução particular. Vamos tentar:
yp(x) = A sin x + B cos x
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
d ypd x = A cos x - B sin x
Segunda derivada:
d^2 ypd x^2 = -A sin x - B cos x

Passo 8

Substituindo yp(x) e suas derivadas na equação original:
(-A sin x - B cos x) + (A sin x + B cos x) = sec x
Simplificando:
0 = sec x
Isso também não funciona, pois a igualdade não é válida. Portanto, precisamos tentar outro método, como a variação das constantes.

Passo 9

Usando a variação das constantes, assumimos que as constantes C1 e C2 na solução homogênea são funções de x :
yp(x) = C1(x) cos x + C2(x) sin x
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
d ypd x = C1'(x) cos x + C2'(x) sin x - C1(x) sin x + C2(x) cos x
Segunda derivada:
d^2 ypd x^2 = C1''(x) cos x + 2 C2'(x) cos x - C1(x) cos x - C2(x) sin x

Passo 10

Substituindo na equação original:
C1''(x) cos x + 2 C2'(x) cos x - C1(x) cos x - C2(x) sin x + C1(x) cos x + C2(x) sin x = sec x
Simplificando:
C1''(x) cos x + 2 C2'(x) cos x = sec x
Para simplificar, podemos escolher que:
C1''(x) = 0 e 2 C2'(x) cos x = sec x

Passo 11

Resolvendo 2 C2'(x) cos x = sec x :
C2'(x) = sec x2 cos x = 12 cos^2 x = 12 sec^2 x
Integrando ambos os lados:
C2(x) = 12 tan x + K
onde K é uma constante de integração que podemos desprezar na solução particular.

Passo 12

Como C1''(x) = 0 , então C1(x) é uma função linear:
C1(x) = A x + B
Para a solução particular, podemos considerar A = 0 , então:
C1(x) = B
Substituindo de volta na expressão da solução particular:
yp(x) = B cos x + ( 12 tan x ) sin x
yp(x) = B cos x + 12 sin x tan x
yp(x) = B cos x + 12 sin^2 xcos x
yp(x) = B cos x + 12 tan^2 x
Para simplificar, assumimos B = 0 :
yp(x) = 12 tan^2 x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos x + C2 sin x + 12 tan^2 x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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