y^prime prime+3 y=t^3 ; y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 3y = t^3
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O conteúdo envolve equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, que vamos resolver em três etapas: solução da parte homogênea, busca de uma solução particular por coeficientes indeterminados e aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 3y = 0
A equação característica é
r^2 + 3 = 0 Longrightarrow r = pm iraiz3
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1cosl(raiz3,tr) + C2sinl(raiz3,tr)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp da forma polinomial
yp(t) = a,t^3 + b,t^2 + c,t + d
Calculamos as derivadas:
yp' = 3a,t^2 + 2b,t + c, yp'' = 6a,t + 2b
Substituindo em y''+3y=t^3, obtemos
6a,t + 2b + 3l(a,t^3 + b,t^2 + c,t + dr) = t^3
Isto é,
3a,t^3 + 3b,t^2 + (6a+3c),t + (2b+3d) = t^3
Igualando coeficientes de t^3,t^2,t^1,t^0, vem
3a = 1, 3b = 0, 6a + 3c = 0, 2b + 3d = 0,
de onde
a = tfrac13, b = 0, c = -tfrac23, d = 0
Assim
yp(t) = tfrac13,t^3 - tfrac23,t

Passo 4

A solução geral da ODE é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cosl(raiz3,tr) + C2sinl(raiz3,tr) + tfrac13t^3 - tfrac23t
Usando y(0)=0
y(0) = C1 + 0 + 0 - 0 = 0 Longrightarrow C1 = 0

Passo 5

Calculamos
y'(t) = -C1raiz3,sin(raiz3t) + C2raiz3,cos(raiz3t) + t^2 - tfrac23
Com C1=0 e y'(0)=0 obtemos
y'(0) = C2raiz3 + 0 - tfrac23 = 0 Longrightarrow C2 = 23raiz3 = 2raiz39

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
boxedy(t) = 2raiz39,sinl(raiz3,tr) ;+;13t^3 ;-;23t

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