,
sendo
sendo
Passo 1
Então, temos um exercício de equações diferenciais onde precisamos resolver a equação
com as condições iniciais
e
. A função
muda de comportamento dependendo se
é menor ou maior que 3. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, lidando com a parte homogênea e a particular, além de considerar a função por partes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como
é uma função por partes, vamos resolver para cada intervalo de
.
Para
,
. Uma escolha para a solução particular seria tentar uma constante, já que a derivada dela será zero:
Substituindo na equação:
Então, para
:
Passo 4
Para
,
. Aqui, escolhemos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Portanto, para
:
Passo 5
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 6
Usamos as condições iniciais para encontrar
e
. Para
:
Derivando
:
Para
:
Temos o sistema:
Resolvendo, somamos as equações:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral:
Para
:
Para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: