y^prime prime-y=g(t) ; y(0)=1, y^prime(0)=2,
sendo
g(t)= 1, & t<3, t, & t>3

Passo 1

Então, temos um exercício de equações diferenciais onde precisamos resolver a equação y'' - y = g(t) com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2 . A função g(t) muda de comportamento dependendo se t é menor ou maior que 3. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, lidando com a parte homogênea e a particular, além de considerar a função por partes de g(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é y'' - y = 0 . A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-t
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa y'' - y = g(t) . Como g(t) é uma função por partes, vamos resolver para cada intervalo de t .
Para t < 3 , g(t) = 1 . Uma escolha para a solução particular seria tentar uma constante, já que a derivada dela será zero:
yp(t) = A
Substituindo na equação:
0 - A = 1 implies A = -1
Então, para t < 3 :
yp(t) = -1

Passo 4

Para t > 3 , g(t) = t . Aqui, escolhemos uma solução particular da forma:
yp(t) = At + B
Calculando as derivadas:
yp'(t) = A
yp''(t) = 0
Substituindo na equação:
0 - (At + B) = t implies -At - B = t
Comparando os coeficientes:
- A = 1 implies A = -1
- B = 0 implies B = 0
Portanto, para t > 3 :
yp(t) = -t

Passo 5

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo:
Para t < 3 :
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-t - 1
Para t > 3 :
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-t - t

Passo 6

Usamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2 . Para t = 0 :
y(0) = C1 + C2 - 1 = 1 implies C1 + C2 = 2
Derivando y(t) :
y'(t) = C1 e^t - C2 e^-t
Para t = 0 :
y'(0) = C1 - C2 = 2
Temos o sistema:
C1 + C2 = 2 C1 - C2 = 2
Resolvendo, somamos as equações:
2C1 = 4 implies C1 = 2
2 + C2 = 2 implies C2 = 0

Passo 7

Substituindo C1 e C2 na solução geral:
Para t < 3 :
y(t) = 2 e^t + 0 cdot e^-t - 1 = 2 e^t - 1
Para t > 3 :
y(t) = 2 e^t + 0 cdot e^-t - t = 2 e^t - t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2 e^t - 1, & t < 3, 2 e^t - t, & t > 3

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