Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
(x+y)-(x-y) d yd x=0
usando a mudança de variável v(x)=y(x) / x.
Verifique que y^prime(x)=v(x)+x v^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem

(x+y)-(x-y)dydx=0

pelo método de substituição homogênea, definindo v(x)=y(x)/x. Vamos precisar da expressão de y' em função de v e v' para reescrever a EDO.

Passo 2

Escrevemos y=xv (pois v=y/x). Derivando ambos os lados em relação a x, usamos a regra do produto:
dydx=ddx(xv)=v+xdvdx
Logo,
y'(x)=v(x)+x,v'(x)

Passo 3

Substituímos y=xv e y'=v+xv' na equação original. Primeiro, isolamos y':
(x+y)=(x-y)y'Longrightarrow y'=x+yx-y
Em seguida,
v+xv'=x+xvx-xv=1+v1-v
Isolando v':
xv'=1+v1-v-v=1+v -v(1-v)1-v=1+v^21-v,
portanto
v'=1+v^2x(1-v)

Passo 4

Agora separamos variáveis. Colocamos todos os termos com v de um lado e com x do outro:
1-v1+v^2,dv=1x,dx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral1-v1+v^2,dv=integral1x,dx
No lado esquerdo dividimos em duas frações:
integral11+v^2,dv - integralv1+v^2,dv=arctan(v)-12ln(1+v^2)
À direita:
integral1x,dx=ln|x|+C
Logo
arctan(v)-tfrac12ln(1+v^2)=ln|x|+C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original y, lembrando que v=y/x. A solução implícita geral é
arctanl(yxr)-tfrac12lnl(1+l(tfracyxr)^2r)=ln|x|+C
Podemos agrupar constantes e simplificar para a forma mais comum

Passo 7

Finalizamos escrevendo de modo mais enxuto:
arctanl(yxr)-tfrac12ln(x^2+y^2)=K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

arctanl(y/xr)-tfrac12lnl(x^2+y^2r)=C

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