Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
Verifique que
.
Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
pelo método de substituição homogênea, definindo . Vamos precisar da expressão de
em função de
e
para reescrever a EDO.
pelo método de substituição homogênea, definindo
Passo 2
Escrevemos
(pois
). Derivando ambos os lados em relação a
, usamos a regra do produto:
Logo,
Passo 3
Substituímos
e
na equação original. Primeiro, isolamos
:
Em seguida,
Isolando
:
portanto
Passo 4
Agora separamos variáveis. Colocamos todos os termos com
de um lado e com
do outro:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo dividimos em duas frações:
À direita:
Logo
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original
, lembrando que
. A solução implícita geral é
Podemos agrupar constantes e simplificar para a forma mais comum
Passo 7
Finalizamos escrevendo de modo mais enxuto:
onde
é constante arbitrária.