y^prime prime+y=t ; y(pi)=0, y^prime(pi)=0

Passo 1

Temos a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem y'' + y = t com condições iniciais em t = π: y(π)=0 e y'(π)=0. O conteúdo envolve solução de EDO não-homogênea por soma da solução da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação característica r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = i e r = i. Logo, a solução geral da homogênea é yh(t) = Acos t + Bsin t.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular, tentamos yp(t) = t. Derivando, temos yp' = 1 e yp'' = 0. Substituindo em y'' + y obtém-se 0 + t = t, confirmando que yp(t) = t funciona.

Passo 4

A solução geral é y(t) = Acos t + Bsin t + t. Derivando, y'(t) = -Asin t + Bcos t + 1. Aplicando y(π)=0 -A + π = 0 e aplicando y'(π)=0 -B + 1 = 0, daí A = π e B = 1.

Resposta

y(t) = πcos t + sin t + t

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