y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=0;
y(0)=-4, y^prime(0)=4, y^prime prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=-4, y'(0)=4, y''(0)=-2
O conteúdo é solução de EDOs lineares por equação característica e múltiplas raízes, e depois ajuste dos constantes pela condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0
Note que isto é
(r+1)^3 = r^3 + 3r^2 + 3r +1,
logo há uma raiz tripla r=-1. Para raiz tripla, a solução geral é
y(t) = l(C1 + C2,t + C3,t^2r)e^-t,
onde C1,C2,C3 são constantes a determinar.

Passo 3

Vamos calcular y' e y''. Defina
U(t) = C1 + C2,t + C3,t^2,
então y = U(t)e^-t. Usando o produto,
y' = U'(t)e^-t - U(t)e^-t, y'' = U''(t)e^-t - 2,U'(t)e^-t + U(t)e^-t
Como
U'(t) = C2 + 2C3,t, U''(t) = 2C3,
ficam
y'(t) = l(C2 + 2C3,t - C1 - C2,t - C3,t^2r)e^-t,
y''(t) = l(2C3 - 2(C2 + 2C3,t) - (C2 + 2C3,t - C1 - C2,t - C3,t^2)r)e^-t
Para aplicar as condições iniciais, basta avaliar essas expressões em t=0:
y(0) = C1, y'(0) = C2 - C1, y''(0) = C1 - 2C2 + 2C3

Passo 4

Impondo as condições iniciais:
y(0) = C1 = -4,
y'(0) = C2 - C1 = 4 ;Longrightarrow; C2 -(-4)=4;Longrightarrow;C2=0,
y''(0) = C1 - 2C2 + 2C3 = -2;Longrightarrow;(-4) -0 +2C3 = -2;Longrightarrow;2C3=2;Longrightarrow;C3=1

Resposta

boxedy(t) = l(t^2 - 4r)e^-t

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