Resolver as seguintes equações mistas ( 4 ^varrho caso):
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=2 e^2 x+x2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 - 4dydx + 4y = 2e^2x + x2
O método mais direto aqui é o de coeficientes indeterminados, que envolve:
  1. Encontrar a solução geral da parte homogênea.
  2. Encontrar uma solução particular para cada termo da forçante 2e^2x e tfracx2.
  3. Somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, a equação homogênea é
y'' - 4y' + 4y = 0
Montamos o polinômio característico
r^2 - 4r + 4 = 0 Longrightarrow (r-2)^2=0,
ou seja, temos raiz dupla r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,xr)e^2x

Passo 3

Agora achamos uma particular para o termo 2e^2x. Como e^2x já gera ressonância de ordem 2 (raízes r=2 com multiplicidade 2), o palpite é
yp1(x) = A,x^2e^2x
Calculando derivadas:
yp1' = A,e^2x(2x+2x^2), yp1'' = A,e^2x(4x^2+8x+2)
Substituindo em y''-4y'+4y
A e^2x(4x^2+8x+2) ;-;4A e^2x(2x+2x^2) ;+;4A x^2e^2x =2A e^2x
Para igualar a 2e^2x precisamos de 2A=2, ou seja
A = 1
Portanto
yp1(x) = x^2e^2x

Passo 4

Em seguida, tratamos o termo polinomial tfracx2. Como não há ressonância com raízes r=0, tentamos
yp2(x) = Bx + C
Então
yp2' = B, yp2'' = 0,
e
yp2'' -4yp2' +4yp2 = -4B + 4(Bx+C) =4B,x + (4C-4B)
Queremos isto igual a tfracx2, logo
4B = tfrac12 Longrightarrow B = tfrac18,
4C - 4B = 0 Longrightarrow C = B = tfrac18
Assim
yp2(x) = 18x + 18

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com ambas particulares:
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x) = l(C1 + C2xr)e^2x + x^2e^2x + 18x + 18

Resposta

y(x) = l(C1 + C2x + x^2r)e^2x ;+; 18,x ;+;18

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