Resolver as seguintes equações mistas (
caso):
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O método mais direto aqui é o de coeficientes indeterminados, que envolve:
- Encontrar a solução geral da parte homogênea.
- Encontrar uma solução particular para cada termo da forçante
e . - Somar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, a equação homogênea é
Montamos o polinômio característico
ou seja, temos raiz dupla
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora achamos uma particular para o termo
. Como
já gera ressonância de ordem 2 (raízes
com multiplicidade 2), o palpite é
Calculando derivadas:
Substituindo em
dá
Para igualar a
precisamos de
, ou seja
Portanto
Passo 4
Em seguida, tratamos o termo polinomial
. Como não há ressonância com raízes
, tentamos
Então
e
Queremos isto igual a
, logo
Assim
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com ambas particulares: