;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
com condições iniciais
Como o coeficiente de
depende de
, uma forma eficiente é usar a transformada de Laplace. Vamos aplicar
em ambos os lados, usar propriedades de
,
e de
, obter uma EDO em
, e depois inverter a transformada.
Passo 2
Definindo
, pelas condições iniciais
temos
Para
usamos a propriedade
logo
Também
.
Passo 3
Somando todas as transformadas, a equação vira
Expandindo
, obtemos
Reescrevendo,
Passo 4
É uma EDO linear de primeira ordem em
. Colocando na forma padrão:
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
dá
Fazendo a mudança
(logo
), integra-se:
Assim
Passo 5
Para que
quando
(condição de existência da transformada), é necessário
. Logo
Passo 6
Por fim, invertemos a transformada:
Podemos checar no lado da equação diferencial:
confirma que resolve e satisfaz
,
.