y^prime prime+3 t y^prime-6 y=1;
y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y''+3t,y'-6y=1
com condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0
Como o coeficiente de y' depende de t, uma forma eficiente é usar a transformada de Laplace. Vamos aplicar L em ambos os lados, usar propriedades de Ly'', Ly' e de Lt,y', obter uma EDO em Y(s)=Ly(t), e depois inverter a transformada.

Passo 2

Definindo Y(s)=Ly(t), pelas condições iniciais y(0)=y'(0)=0 temos
Ly''=s^2Y(s), Ly'=sY(s)
Para L3t,y' usamos a propriedade
Lt,f(t)=-ddsF(s),
logo
L3t,y' =3;Ltcdot y' =-3,ddsl[sY(s)r]
Também L1=1/s.

Passo 3

Somando todas as transformadas, a equação vira
s^2Y(s);-;3ddsl[sY(s)r];-;6Y(s) =1s
Expandindo dds(sY)=Y+sY', obtemos
s^2Y -3(Y+sY')-6Y = 1s ;Longrightarrow; s^2Y -9Y -3sY' = 1s
Reescrevendo,
-3s,Y'(s)+(s^2-9),Y(s)=1s

Passo 4

É uma EDO linear de primeira ordem em Y(s). Colocando na forma padrão:
Y' - s^2-93s,Y = -13s^2
O fator integrante é
mu(s) =exp!l(-!integrals^2-93sdsr) =expl(-tfrac13(tfracs^22-9ln s)r) =s^3e^-s^2/6
Multiplicando a EDO por mu(s)
ddsl[mu(s),Y(s)r] =-13s^2;mu(s) =-tfrac13,s,e^-s^2/6
Fazendo a mudança u=-s^2/6 (logo du=-(s/3)ds), integra-se:
mu,Y = integral -tfrac13,s,e^-s^2/6ds = e^-s^2/6 + C
Assim
Y(s) =e^-s^2/6+Cs^3e^-s^2/6 =1s^3+C;e^s^2/6s^3

Passo 5

Para que Y(s)to0 quando sto+infty (condição de existência da transformada), é necessário C=0. Logo
Y(s)=1s^3

Passo 6

Por fim, invertemos a transformada:
y(t)=L^-1l1s^3r =t^22
Podemos checar no lado da equação diferencial:
y''=1, y'=t ;Longrightarrow; 1+3tcdot t-6cdott^22 =1+3t^2-3t^2=1,
confirma que resolve e satisfaz y(0)=0, y'(0)=0.

Resposta

boxedy(t)=t^22

Exercícios relacionados