Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação:
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica. Assumimos que
, então substituímos na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero), temos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, que não é uma solução da equação homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar. Vamos derivar
para substituir na equação original.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Vamos substituir
e suas derivadas na equação original e igualar os coeficientes para encontrar
,
e
. Esse processo envolve um pouco de álgebra, então vamos simplificar:
Após substituir e simplificar, encontramos os valores de
,
e
que satisfazem a equação.
Passo 5
Após calcular os valores de
,
e
, substituímos de volta na expressão de
para obter a solução particular completa.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
,
, e
são constantes determinadas pelo processo de substituição na equação original.