y^prime prime+4 y=4 t^2-4 t+10
y(0)=0, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 4t^2 - 4t + 10
e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=3. O procedimento é: (1) achar a solução geral da homogênea, (2) determinar uma solução particular por coeficientes a determinar e (3) usar as condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y = 0,
cuja equação característica é r^2+4=0, com raízes r=pm2i. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

Buscamos uma solução particular do tipo
yp(t)=At^2+Bt+C
Então
yp''(t)=2A,
e substituindo em y''+4y=4t^2-4t+10
2A+4l(At^2+Bt+Cr)=4t^2-4t+10
Isso gera o sistema pelos coeficientes de t^2, t e termo constante:
4A=4, 4B=-4, 4C+2A=10,
de onde A=1, B=-1 e C=2. Assim
yp(t)=t^2 - t + 2

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)+t^2 - t + 2
Derivando,
y'(t)=-2C1sin(2t)+2C2cos(2t)+2t-1
Em t=0 temos
y(0)=C1+2=0 Rightarrow C1=-2,
y'(0)=2C2-1=3 Rightarrow 2C2=4 Rightarrow C2=2

Resposta

y(t)=-2cos(2t)+2sin(2t)+t^2-t+2

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