y^prime prime-y^prime-2 y=-8 cos t-2 sen t; y(pi / 2)=1, y^prime(pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y'-2y=-8cos t-2sin t
e condições iniciais
yl(tfracpi2r)=1, y'l(tfracpi2r)=0
O conteúdo é resolução de EDO lineares usando o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois um particular para a parte forçada e, por fim, ajustamos as constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, consideramos a equação característica
r^2-r-2=0
cuja solução é
r=2,;-1
Logo a solução geral homogênea é
yh=C1e^2t+C2e^-t

Passo 3

Para obter um particular yp usamos o ansatz
yp=Acos t+Bsin t
Calculando derivadas:
yp'=-Asin t+Bcos t, yp''=-Acos t -Bsin t
Substituindo em y''-y'-2y vem
yp''-yp'-2yp =(-3A -B)cos t+(A-3B)sin t
que deve igualar -8cos t-2sin t. Assim
-3A -B=-8, A-3B=-2,
cuja solução é
A=tfrac115, B=tfrac75
Portanto
yp=115cos t+75sin t

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t)=C1e^2t+C2e^-t+115cos t+75sin t

Passo 5

Calculamos y' e aplicamos as condições em t=tfracpi2.
y'(t)=2C1e^2t-C2e^-t-115sin t+75cos t
Em t=tfracpi2 temos costfracpi2=0, sintfracpi2=1, logo
yl(tfracpi2r)=C1e^pi+C2e^-pi/2+75=1,
y'l(tfracpi2r)=2C1e^pi-C2e^-pi/2-115=0
Isto gera o sistema
C1e^pi+C2e^-pi/2=-tfrac25, 2C1e^pi-C2e^-pi/2=tfrac115

Passo 6

Somando as duas equações elimina C2:
3C1e^pi=95 Longrightarrow C1=35e^-pi
Substituindo em C1e^pi+C2e^-pi/2=-tfrac25
35+C2e^-pi/2=-25 Longrightarrow C2=-e^pi/2

Resposta

y(t) =35e^2t-pi -e^pi2-t +115cos t +75sin t

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