y^prime prime+6 y=t^2-1;
y(0)=0, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6,y = t^2 - 1
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-1. Vamos usar a técnica de solução geral = solução da homogênea + solução particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
y'' + 6,y = 0
A equação característica é
r^2 + 6 = 0 Longrightarrow r = pm iraiz6
Logo a solução geral da homogênea é
yc(t) = C1cosl(raiz6,tr) + C2sinl(raiz6,tr)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(t) por coeficientes a determinar. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, experimentamos
yp(t) = A,t^2 + B,t + C
Calculamos
yp''(t) = 2A,
então
yp'' + 6,yp = 2A + 6l(A,t^2 + B,t + Cr) = 6A,t^2 + 6B,t + (6C + 2A)
Esse deve ser igual a t^2 - 1, daí
6A = 1, 6B = 0, 6C + 2A = -1
Resolvendo,
A = tfrac16, B = 0, 6C = -1 - 2A = -1 - tfrac23 = -tfrac53 Longrightarrow C = -tfrac518

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t) = yc(t) + yp(t) = C1cos(raiz6,t) + C2sin(raiz6,t) + tfrac16t^2 - tfrac518

Passo 5

Impondo y(0)=0 obtemos
y(0) = C1 + 0 + 0 - tfrac518 = 0 Longrightarrow C1 = tfrac518

Passo 6

Calculamos
y'(t) = -C1raiz6,sin(raiz6,t) + C2raiz6,cos(raiz6,t) + tfrac13,t
Então
y'(0) = 0 + C2raiz6 + 0 = -1 Longrightarrow C2 = -1raiz6

Resposta

boxed y(t) = 518,cosl(raiz6,tr) - 1raiz6,sinl(raiz6,tr) + 16,t^2 - 518

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