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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de terceira ordem:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método da equação característica, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Basicamente, a gente transforma a equação diferencial em uma equação polinomial para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de
:
Essa é a nossa equação característica. Agora, precisamos resolver esse polinômio para encontrar os valores de
, que vão nos ajudar a construir a solução geral da equação diferencial.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Para fatorar, vamos tentar encontrar um valor de
que satisfaça a equação. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, podemos fatorar
da equação:
Agora, resolvemos
:
Então, as raízes são
,
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz real (
) e duas raízes complexas conjugadas (
e
), a solução geral fica:
Onde
,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
,
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Agora, calculamos a primeira derivada
:
Aplicamos
:
Finalmente, calculamos a segunda derivada
:
Aplicamos
:
Passo 6
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, somamos as Equações 1 e 3:
Agora, substituímos
na Equação 1:
Por fim, substituímos
na Equação 2:
Resposta
Substituindo os valores das constantes na solução geral, temos: