y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=0;
y(0)=1, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de terceira ordem:
y''' - y'' + y' - y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 1, y'(0) = 1, y''(0) = 3
Para resolver isso, vamos precisar usar o método da equação característica, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Basicamente, a gente transforma a equação diferencial em uma equação polinomial para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de r :
r^3 - r^2 + r - 1 = 0
Essa é a nossa equação característica. Agora, precisamos resolver esse polinômio para encontrar os valores de r , que vão nos ajudar a construir a solução geral da equação diferencial.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^3 - r^2 + r - 1 = 0
Para fatorar, vamos tentar encontrar um valor de r que satisfaça a equação. Testando r = 1 :
1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
Então, r = 1 é uma raiz. Agora, podemos fatorar (r - 1) da equação:
r^3 - r^2 + r - 1 = (r - 1)(r^2 + 1) = 0
Agora, resolvemos r^2 + 1 = 0 :
r^2 + 1 = 0 r^2 = -1 r = pm i
Então, as raízes são r = 1 , r = i e r = -i .

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz real ( r = 1 ) e duas raízes complexas conjugadas ( r = i e r = -i ), a solução geral fica:
y(t) = C1 e^t + C2 cos(t) + C3 sin(t)
Onde C1 , C2 e C3 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 , C2 e C3 .
Primeiro, aplicamos y(0) = 1 :
y(0) = C1 e^0 + C2 cos(0) + C3 sin(0) 1 = C1 (1) + C2 (1) + C3 (0) 1 = C1 + C2 (Equação 1) çã
Agora, calculamos a primeira derivada y'(t) :
y'(t) = C1 e^t - C2 sin(t) + C3 cos(t)
Aplicamos y'(0) = 1 :
y'(0) = C1 e^0 - C2 sin(0) + C3 cos(0) 1 = C1 (1) - C2 (0) + C3 (1) 1 = C1 + C3 (Equação 2) çã
Finalmente, calculamos a segunda derivada y''(t) :
y''(t) = C1 e^t - C2 cos(t) - C3 sin(t)
Aplicamos y''(0) = 3 :
y''(0) = C1 e^0 - C2 cos(0) - C3 sin(0) 3 = C1 (1) - C2 (1) - C3 (0) 3 = C1 - C2 (Equação 3) çã

Passo 6

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
  1. C1 + C2 = 1
  2. C1 + C3 = 1
  3. C1 - C2 = 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, somamos as Equações 1 e 3:
(C1 + C2) + (C1 - C2) = 1 + 3 2C1 = 4 C1 = 2
Agora, substituímos C1 = 2 na Equação 1:
2 + C2 = 1 C2 = 1 - 2 C2 = -1
Por fim, substituímos C1 = 2 na Equação 2:
2 + C3 = 1 C3 = 1 - 2 C3 = -1

Resposta

Substituindo os valores das constantes na solução geral, temos:
y(t) = 2 e^t - cos(t) - sin(t)

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