Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r em cada caso:
F(x, y)=(y-cos (y), x sen(y)), onde C é o círculo (x-3)^2+(y+4)^2=4, orientado positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde e é o círculo , com orientação positiva (sentido anti-horário).
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Para aplicar esse teorema, precisamos identificar as componentes de como e , calcular as derivadas parciais necessárias e então integrar sobre a região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar F(x, y) = (P, Q) = ( y - cos(y), x sin(y) ) e na nossa função vetorial :

Passo 3

Segundo, o Teorema de Green nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Aqui, é a região dentro do círculo .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x sin(y)) = sin(y)
partial Ppartial y = partialpartial y ( y - cos(y) ) = 1 + sin(y)

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = sin(y) - (1 + sin(y)) = -1
Isso simplifica bastante a integral dupla!

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região integral duplaD (-1) , dx , dy = - integral duplaD dx , dy :
Ou seja, estamos calculando o negativo da área da região .

Passo 7

Vamos encontrar a área do círculo Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi . A equação representa um círculo com centro em e raio .
A área de um círculo é dada por:
Á

Passo 8

Então, substituindo na integral:
- integral duplaD dx , dy = - Área = -4pi Á

Resposta

A integral vale .

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