Use o Teorema de Green para calcular
em cada caso:
, onde
é o círculo
, orientado positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
e
é o círculo
, com orientação positiva (sentido anti-horário).
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Para aplicar esse teorema, precisamos identificar as componentes de
como
e
, calcular as derivadas parciais necessárias e então integrar sobre a região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa função vetorial
:
Passo 3
Segundo, o Teorema de Green nos diz que:
Aqui,
é a região dentro do círculo
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Isso simplifica bastante a integral dupla!
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
:
Ou seja, estamos calculando o negativo da área da região
.
Passo 7
Vamos encontrar a área do círculo
. A equação
representa um círculo com centro em
e raio
.
A área de um círculo é dada por:
Passo 8
Então, substituindo na integral:
Resposta
A integral
vale
.