Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Aqui, é uma função que muda de forma dependendo do valor de :
Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é muito útil para resolver equações diferenciais com condições iniciais e funções por partes como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de y'' é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) , e a de y é simplesmente Y(s) . Então, aplicando na equação:
s^2 Y(s) - s(-1) - 0 + 4 Y(s) = G(s)
Aqui, G(s) é a Transformada de Laplace de g(t) .
Passo 3
Simplificando a equação, temos:
(s^2 + 4) Y(s) + s = G(s)
Isolando Y(s) :
Y(s) = G(s) - ss^2 + 4
Agora, precisamos encontrar G(s) , a Transformada de Laplace de g(t) .
Passo 4
Como g(t) é uma função por partes, vamos escrevê-la usando a função degrau unitário u(t - a) , que é 0 para t < a e 1 para t >= a . Então:
g(t) = t cdot u(0) + (5 - t) cdot u(2)
Isso simplifica para:
g(t) = t - (t - 5) u(t - 2)
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace:
G(s) = Lt - L(t - 2) u(t - 2) + L5 u(t - 2)
Sabemos que Lt = 1s^2 , L(t - a) u(t - a) = e^-a ss^2 , e Lu(t - a) = e^-a ss . Então: