Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: y'' + 4y = g(t) , com as condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 0 . Aqui, g(t) é uma função que muda de forma dependendo do valor de t :
g(t) = t, & t < 2, 5, & t > 2
Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é muito útil para resolver equações diferenciais com condições iniciais e funções por partes como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de y'' é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) , e a de y é simplesmente Y(s) . Então, aplicando na equação:
s^2 Y(s) - s(-1) - 0 + 4 Y(s) = G(s)
Aqui, G(s) é a Transformada de Laplace de g(t) .

Passo 3

Simplificando a equação, temos:
(s^2 + 4) Y(s) + s = G(s)
Isolando Y(s) :
Y(s) = G(s) - ss^2 + 4
Agora, precisamos encontrar G(s) , a Transformada de Laplace de g(t) .

Passo 4

Como g(t) é uma função por partes, vamos escrevê-la usando a função degrau unitário u(t - a) , que é 0 para t < a e 1 para t >= a . Então:
g(t) = t cdot u(0) + (5 - t) cdot u(2)
Isso simplifica para:
g(t) = t - (t - 5) u(t - 2)
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace:
G(s) = Lt - L(t - 2) u(t - 2) + L5 u(t - 2)
Sabemos que Lt = 1s^2 , L(t - a) u(t - a) = e^-a ss^2 , e Lu(t - a) = e^-a ss . Então:
G(s) = 1s^2 - e^-2ss^2 + 5 e^-2ss

Passo 5

Substituindo G(s) na expressão de Y(s) :
Y(s) = 1s^2 - e^-2ss^2 + 5 e^-2ss - ss^2 + 4
Vamos separar os termos:
Y(s) = 1s^2(s^2 + 4) - e^-2ss^2(s^2 + 4) + 5 e^-2ss(s^2 + 4) - ss^2 + 4

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo para encontrar y(t) . Vamos lembrar que:
L^-11s^2 + a^2 = sin(a t)a
L^-1ss^2 + a^2 = cos(a t)
E para termos com e^-a s , usamos o teorema do atraso:
L^-1e^-a s F(s) = f(t - a) u(t - a)

Passo 7

Aplicando a Transformada Inversa:
y(t) = L^-11s^2(s^2 + 4) - L^-1e^-2ss^2(s^2 + 4) + 5 L^-1e^-2ss(s^2 + 4) - L^-1ss^2 + 4
Resolvendo cada termo:
L^-11s^2(s^2 + 4) = 1 - cos(2t)4
L^-1e^-2ss^2(s^2 + 4) = 1 - cos[2(t - 2)]4 u(t - 2)
5 L^-1e^-2ss(s^2 + 4) = 5 cdot sin[2(t - 2)]2 u(t - 2) = 52 sin[2(t - 2)] u(t - 2)
L^-1ss^2 + 4 = cos(2t)

Passo 8

Juntando tudo:
y(t) = 1 - cos(2t)4 - 1 - cos[2(t - 2)]4 u(t - 2) + 52 sin[2(t - 2)] u(t - 2) - cos(2t)
Simplificando:
y(t) = -34 cos(2t) + 14 - 14 cos[2(t - 2)] u(t - 2) + 52 sin[2(t - 2)] u(t - 2)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -34 cos(2t) + 14 - 14 cos[2(t - 2)], u(t - 2) + 52 sin[2(t - 2)], u(t - 2)
onde u(t - 2) é a função degrau unitário que ativa os termos para t >= 2 .

Exercícios relacionados