x^3 y^prime prime prime-2 x^2 y^prime prime=2 x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos a equação diferencial x^3 y''' - 2 x^2 y'' = 2 x^3 - x . Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, especificamente métodos para equações com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero:
x^3 y''' - 2 x^2 y'' - 2 x^3 + x = 0

Passo 3

Agora, observamos que a equação é linear e de ordem três. Podemos tentar encontrar uma solução particular e a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
x^3 y''' - 2 x^2 y'' = 0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por x^2 (assumindo x neq 0 ):
x y''' - 2 y'' = 0

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição. Seja y'' = z . Então, a equação se torna:
x z' - 2 z = 0
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem para z .

Passo 6

Resolvendo x z' - 2 z = 0 , podemos reescrever como:
z' - 2x z = 0
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida pelo fator integrante. O fator integrante mu(x) é:
mu(x) = e^integral -2x dx = e^-2 ln x = x^-2

Passo 7

Multiplicando ambos os lados da equação por mu(x) :
x^-2 z' - 2x^3 z = 0
Isso simplifica para:
ddx(x^-2 z) = 0
Integrando ambos os lados:
x^-2 z = C
Onde C é a constante de integração. Portanto:
z = C x^2
Lembrando que z = y'' , temos:
y'' = C x^2

Passo 8

Integrando y'' = C x^2 uma vez em relação a x :
y' = integral C x^2 dx = C3 x^3 + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 9

Integrando novamente para encontrar y :
y = integral ( C3 x^3 + D ) dx = C12 x^4 + D x + E
Onde E é uma terceira constante de integração.

Passo 10

Agora, temos a solução geral da equação homogênea:
yh = C12 x^4 + D x + E

Passo 11

Em seguida, encontramos uma solução particular da equação original. Observando o termo não homogêneo 2x^3 - x , assumimos uma forma de solução particular semelhante:
yp = A x^3 + B x

Passo 12

Calculando as derivadas necessárias:
yp' = 3A x^2 + B
yp'' = 6A x
yp''' = 6A

Passo 13

Substituindo yp e suas derivadas na equação original:
x^3 (6A) - 2 x^2 (6A x) = 2 x^3 - x
Simplificando:
6A x^3 - 12A x^3 = 2 x^3 - x
-6A x^3 = 2 x^3 - x

Passo 14

Comparando os coeficientes:
Para x^3 :
-6A = 2 Rightarrow A = -13
Para x :
Não há termo de x no lado esquerdo, então:
0 = -1
Isso indica que nossa suposição inicial para yp não está capturando todos os termos. Precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 15

Vamos tentar uma solução particular da forma:
yp = A x^3 + B x ln x

Passo 16

Calculando as derivadas:
yp' = 3A x^2 + B (ln x + 1)
yp'' = 6A x + B ( 1x )
yp''' = 6A - B ( 1x^2 )

Passo 17

Substituindo na equação original:
x^3 ( 6A - Bx^2 ) - 2x^2 ( 6A x + Bx ) = 2x^3 - x
Simplificando:
6A x^3 - B x = 12A x^3 + 2B x = 2x^3 - x

Passo 18

Comparando os coeficientes:
Para x^3 :
6A - 12A = -6A = 2 Rightarrow A = -13
Para x :
-B - 2B = -3B = -1 Rightarrow B = 13

Passo 19

Então, a solução particular é:
yp = -13 x^3 + 13 x ln x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C12 x^4 + D x + E - 13 x^3 + 13 x ln x
Onde C , D e E são constantes de integração.

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