Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, especificamente métodos para equações com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero:
Passo 3
Agora, observamos que a equação é linear e de ordem três. Podemos tentar encontrar uma solução particular e a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 4
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição. Seja
. Então, a equação se torna:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 6
Resolvendo
, podemos reescrever como:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida pelo fator integrante. O fator integrante
é:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados da equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Portanto:
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Integrando
uma vez em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é uma terceira constante de integração.
Passo 10
Agora, temos a solução geral da equação homogênea:
Passo 11
Em seguida, encontramos uma solução particular da equação original. Observando o termo não homogêneo
, assumimos uma forma de solução particular semelhante:
Passo 12
Calculando as derivadas necessárias:
Passo 13
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 14
Comparando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Não há termo de no lado esquerdo, então:
Não há termo de
Isso indica que nossa suposição inicial para
não está capturando todos os termos. Precisamos ajustar nossa suposição.
Passo 15
Vamos tentar uma solução particular da forma:
Passo 16
Calculando as derivadas:
Passo 17
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 18
Comparando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Passo 19
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes de integração.