y^prime prime prime=ln xx^2
y(1)=0
y^prime(1)=1 y^prime prime(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral de uma equação diferencial de terceira ordem
y''' = ln xx^2
sujeita às condições iniciais
y(1)=0, y'(1)=1, y''(1)=2
O conteúdo envolve integração sucessiva de derivadas e aplicação das condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos a equação para obter y''(x). Como
y''' = ln xx^2,
fazemos
y''(x) = integral ln xx^2,dx
Use integração por partes com u=ln x, dv = x^-2dx, logo du = dxx, v=-1x. Temos
integral ln xx^2,dx = -ln xx - integrall(-1xcdot1xr),dx = -ln xx + integral x^-2,dx = -ln xx - 1x + C1
Portanto
y''(x) = -ln x + 1x + C1
Aplica y''(1)=2: como ln1=0,
2 = -0+11 + C1 = -1 + C1 Longrightarrow C1 = 3
Assim
y''(x) = -ln x +1x + 3

Passo 3

Integramos para obter y'(x):
y'(x) = integral y''(x),dx = integrall(-ln x +1x + 3r),dx = -integralln xx,dx - integral1x,dx + integral 3,dx
Sabemos que integralln xx,dx = tfrac12(ln x)^2 e integral1x,dx = ln x. Logo
y'(x) = -12(ln x)^2 - ln x + 3x + C2
Aplica y'(1)=1: tem-se ln1=0,
1 = 0 - 0 + 3cdot1 + C2 = 3 + C2 Longrightarrow C2 = -2
Logo
y'(x) = -tfrac12(ln x)^2 - ln x + 3x - 2

Passo 4

Integramos mais uma vez para achar y(x):
y(x) = integral y'(x),dx = integrall(-tfrac12(ln x)^2 - ln x + 3x -2r),dx
Usamos as fórmulas
integral (ln x)^2,dx = xl((ln x)^2 - 2ln x + 2r), integral ln x,dx = xln x - x
Assim,
integral -tfrac12(ln x)^2,dx = -12,xl((ln x)^2 - 2ln x + 2r), integral -ln x,dx = -l(xln x - xr),
integral 3x,dx = tfrac32 x^2, integral -2,dx = -2x
Somando tudo e acrescentando C3,
y(x) = -x2l((ln x)^2 - 2ln x + 2r) - xln x + x + tfrac32 x^2 - 2x + C3
Simplificando os termos semelhantes, obtém-se
y(x) = -x(ln x)^22 + 32x^2 - 2x + C3
Aplica y(1)=0: como ln1=0,
0 = 0 + tfrac32cdot1 - 2cdot1 + C3 = tfrac32 -2 + C3 = -tfrac12 + C3 Longrightarrow C3 = tfrac12

Resposta

boxed y(x) = -x(ln x)^22 + 32,x^2 - 2,x + 12

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