Resolva a equagto diferencial.
x d yd x-4 y=x^4 e^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x d yd x - 4y = x^4 e^2
Trata-se de uma equação de primeira ordem e linear em y. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por x (supondo xneq0):
d yd x - 4x,y = x^3 e^2

Passo 3

Identificamos P(x)=-tfrac4x. O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral -4x,dxr) =expl(-4ln|x|r) =|x|^-4
Como podemos trabalhar em um intervalo onde x>0 (ou x<0), tomamos mu(x)=x^-4.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-4:
x^-4d yd x-4x^-5y = e^2x^-1
O lado esquerdo é a derivada do produto ddxl(x^-4yr), então
ddxl(x^-4yr) = e^2x^-1
Integramos em x:
x^-4y = e^2integral x^-1,dx + C = e^2ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = x^4l(e^2ln|x| + Cr)

Resposta

A solução geral é
y(x)=x^4l(e^2ln|x|+Cr)

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