integral1^9 x-1raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^9 x - 1raizx , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integração de funções racionais envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de integração e simplificar a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x - 1raizx. Para isso, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
xraizx - 1raizx

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo separado:
xraizx = raizx (porque x = (raizx)^2 )
1raizx = x^-1/2
Portanto, a expressão fica:
raizx - x^-1/2

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a expressão simplificada:
integral1^9 ( raizx - x^-1/2 ) dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, onde n neq -1.
Para o primeiro termo raizx, que é x^1/2:
integral x^1/2 dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2
Para o segundo termo -x^-1/2:
integral -x^-1/2 dx = -x^1/21/2 = -2 x^1/2

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais:
23 x^3/2 - 2 x^1/2 gr|1^9

Passo 7

Vamos calcular o valor da expressão nos limites de integração, começando por x = 9:
23 cdot 9^3/2 - 2 cdot 9^1/2
= 23 cdot 27 - 2 cdot 3
= 18 - 6
= 12
Agora, para x = 1:
23 cdot 1^3/2 - 2 cdot 1^1/2
= 23 cdot 1 - 2 cdot 1
= 23 - 2
= -43

Resposta

Finalmente, subtraindo os valores obtidos nos limites de integração:
12 - ( -43 ) = 12 + 43 = 403
Então, o valor da integral integral1^9 x - 1raizx , dx é 403.

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