& integral0^1 integral0^2(x+2) d y d x & integral0^1(x+2) y|0 ^2 & integral0^1(x+2) 2 d x & 2 integral0^1(x+2) d x & 2[x^22+2 x]0^1 & 2(52)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A pergunta é para calcular a integral dupla de (x + 2) com y variando de 0 a 2 e x variando de 0 a 1. Para isso, a gente vai precisar entender como calcular integrais duplas, que basicamente são usadas para encontrar o volume sob uma superfície em duas dimensões. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral dupla integral0^1 integral0^2(x+2) , dy , dx . Aqui, estamos integrando a função (x + 2) em relação a y de 0 a 2 e depois em relação a x de 0 a 1. A ideia é calcular o “volume” dessa função sobre a região definida pelos limites de integração.

Passo 3

Vamos começar calculando a integral interna, que é em relação a y . Como (x + 2) não depende de y , ela pode ser tratada como uma constante durante essa integração. A integral de uma constante c em relação a y de a a b é simplesmente c(y) avaliado de a a b .
Então temos:
integral0^2 (x + 2) , dy = (x + 2) cdot y |0^2
= (x + 2) cdot 2 - (x + 2) cdot 0
= 2(x + 2)

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir esse resultado na integral externa. Ficou assim:
integral0^1 2(x + 2) , dx
A gente pode fatorar o 2 para facilitar:
2 integral0^1 (x + 2) , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral integral (x + 2) , dx . A integral de x em relação a x é x^22 e a integral de 2 em relação a x é 2x . Então:
integral (x + 2) , dx = x^22 + 2x
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:
[ x^22 + 2x ]0^1 = ( 1^22 + 2 cdot 1 ) - ( 0^22 + 2 cdot 0 )
= ( 12 + 2 ) - 0
= 52

Passo 6

Agora, multiplicamos esse resultado pelo 2 que a gente tinha fatorado antes:
2 cdot 52 = 5

Resposta

O valor da integral dupla é 5.

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