Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A pergunta é para calcular a integral dupla de (x + 2) com y variando de 0 a 2 e x variando de 0 a 1. Para isso, a gente vai precisar entender como calcular integrais duplas, que basicamente são usadas para encontrar o volume sob uma superfície em duas dimensões. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral dupla integral0^1 integral0^2(x+2) , dy , dx . Aqui, estamos integrando a função (x + 2) em relação a y de 0 a 2 e depois em relação a x de 0 a 1. A ideia é calcular o “volume” dessa função sobre a região definida pelos limites de integração.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral interna, que é em relação a y . Como (x + 2) não depende de y , ela pode ser tratada como uma constante durante essa integração. A integral de uma constante c em relação a y de a a b é simplesmente c(y) avaliado de a a b .
Então temos:
integral0^2 (x + 2) , dy = (x + 2) cdot y |0^2
= (x + 2) cdot 2 - (x + 2) cdot 0
= 2(x + 2)
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir esse resultado na integral externa. Ficou assim:
integral0^1 2(x + 2) , dx
A gente pode fatorar o 2 para facilitar:
2 integral0^1 (x + 2) , dx
Passo 5
Vamos resolver a integral integral (x + 2) , dx . A integral de x em relação a x é x^22 e a integral de 2 em relação a x é 2x . Então: