Mostre que se y1(t) e y2(t)=y1(t) integral e^-integral p(t) d ty1(t)^2 d t são soluções da EDO linear de 2^a ordem homogênea y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 (onde y2 é obtida de y1 pelo método da Redução de Ordem), então elas são soluções fundamentais.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem homogênea, que tem a forma:
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
Duas funções, y1(t) e y2(t) = y1(t) integral e^-integral p(t) dty1(t)^2 dt , são dadas como soluções dessa EDO. O objetivo é mostrar que essas duas soluções são soluções fundamentais, ou seja, que elas são linearmente independentes e formam a base para todas as soluções da equação.

Passo 2

Para provar que y1(t) e y2(t) são soluções fundamentais, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o Wronskiano dessas duas funções. O Wronskiano nos ajuda a determinar a independência linear de soluções de uma EDO.

Passo 3

O Wronskiano W(y1, y2) é definido como:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'
Vamos calcular y2' . Sabemos que:
y2(t) = y1(t) integral e^-integral p(t) dty1(t)^2 dt
Diferenciando y2(t) em relação a t :
y2'(t) = y1'(t) integral e^-integral p(t) dty1(t)^2 dt + y1(t) cdot e^-integral p(t) dty1(t)^2
= y1'(t) integral e^-integral p(t) dty1(t)^2 dt + e^-integral p(t) dty1(t)
Substituindo y2' no Wronskiano:
W(y1, y2) = y1 ( y1' integral e^-integral p(t) dty1^2 dt + e^-integral p(t) dty1 ) - y2 y1'
Simplificando:
W(y1, y2) = y1 y1' integral e^-integral p(t) dty1^2 dt + e^-integral p(t) dt - y1 integral e^-integral p(t) dty1^2 dt cdot y1'
= e^-integral p(t) dt

Passo 4

Observamos que o Wronskiano W(y1, y2) = e^-integral p(t) dt nunca é zero, já que a exponencial de uma função real nunca é zero. Isso significa que y1(t) e y2(t) são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, y1(t) e y2(t) são soluções fundamentais da EDO y'' + p(t) y' + q(t) y = 0 .

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