Mostre que se e são soluções da EDO linear de ordem homogênea (onde é obtida de pelo método da Redução de Ordem), então elas são soluções fundamentais.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem homogênea, que tem a forma:
Duas funções, e , são dadas como soluções dessa EDO. O objetivo é mostrar que essas duas soluções são soluções fundamentais, ou seja, que elas são linearmente independentes e formam a base para todas as soluções da equação.
Passo 2
Para provar que e são soluções fundamentais, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o Wronskiano dessas duas funções. O Wronskiano nos ajuda a determinar a independência linear de soluções de uma EDO.
Passo 3
O Wronskiano é definido como:
Vamos calcular y2' . Sabemos que:
y2(t) = y1(t) integral e^-integral p(t) dty1(t)^2 dt
Observamos que o Wronskiano W(y1, y2) = e^-integral p(t) dt nunca é zero, já que a exponencial de uma função real nunca é zero. Isso significa que y1(t) e y2(t) são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, y1(t) e y2(t) são soluções fundamentais da EDO y'' + p(t) y' + q(t) y = 0 .