sumn=1^infty cos (n pi)n^1.1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
sumn=1^infty cos(npi)n^1.1
O conteúdo envolvido é reconhecimento de séries alternantes e uso da função zeta de Riemann e da função eta de Dirichlet. Vamos precisar usar a identidade cos(npi)=(-1)^n e as definições
zeta(s)=sumn=1^infty 1n^s, eta(s)=sumn=1^infty (-1)^n-1n^s

Passo 2

Substituindo cos(npi)=(-1)^n na soma, temos
sumn=1^infty cos(npi)n^1.1 =sumn=1^infty (-1)^nn^1.1 =-sumn=1^infty (-1)^n-1n^1.1 =-eta(1.1)

Passo 3

Recordando a relação entre eta(s) e zeta(s),
eta(s)=l(1-2^1-sr),zeta(s)
Aplicando em s=1.1, obtemos
eta(1.1)=l(1-2^1-1.1r),zeta(1.1) =l(1-2^-0.1r),zeta(1.1)

Passo 4

Logo a soma original vale
sumn=1^infty cos(npi)n^1.1 =-eta(1.1) =-l(1-2^-0.1r),zeta(1.1)

Passo 5

Para um valor numérico, usamos aproximações conhecidas:
zeta(1.1)approx 10.584448 e 2^-0.1approx 0.93303299. Então
1-2^-0.1approx 0.06696701, l(1-2^-0.1r),zeta(1.1)approx 0,709027
Portanto
sumn=1^infty cos(npi)n^1.1 approx -0,7090

Resposta

-l(1-2^-0.1r),zeta(1.1)approx -0,7090

Exercícios relacionados