Verifique se as funções abaixo são contínuas, caso contrário determine os pontos de descontinuidades.
f(x)=l2 t-3 t^21+t^3 se t neq 1 -12 se t=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(t)= 2t-3t^21+t^3, & tneq 1,[6pt] -tfrac12, & t=1
O conteúdo é definição de continuidade: f é contínua em t0 se
1) f(t0) está definida,
2) limtto t0f(t) existe e
3) limtto t0f(t)=f(t0).
Vamos identificar o domínio, os possíveis pontos críticos e checar cada um.]

Passo 2

Analisando o ramo racional 2t-3t^21+t^3: ele é contínuo para todos os t tais que o denominador não zere, ou seja
1+t^3neq 0
Longrightarrow tneq -1.
Logo, exceto em t=-1, esse ramo não introduz descontinuidade.

Passo 3

Em t=1 a função recebe valor definido por f(1)=-tfrac12. Precisamos ver se
limtto12t-3t^21+t^3
existe e coincide com -tfrac12. Calculando:
limtto12t-3t^21+t^3 =2cdot1-3cdot1^21+1^3 =2-32 =-12
Como esse limite é -tfrac12 e igual a f(1), a função é contínua em t=1.

Passo 4

Em t=-1 o denominador 1+(-1)^3=0, então o ramo racional não está definido e nem f(-1) existe. Portanto há descontinuidade em t=-1. Trata-se de uma descontinuidade essencial (ramo vai a infinito).

Resposta

A função é contínua em todos os tneq -1 e descontínua apenas em t=-1.

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