Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro.
Começamos com:
Multiplicamos ambos os lados por
e
para isolar
e
:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo com respeito a
:
E integrando o lado direito com respeito a
:
Então, juntando as integrações:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Vamos agora resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos simplificar a constante
para apenas
(já que
é qualquer constante), então:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para isolar
:
Passo 5
Por fim, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituímos
e
na equação:
Sabendo que
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resposta
Substituindo
na equação de
:
Então, a solução da equação diferencial é: