d yd x=e^xy, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
dydx = e^xy, y(0) = 1
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis y e x para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x . Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos envolvendo y fiquem de um lado e os termos envolvendo x fiquem do outro.
Começamos com:
dydx = e^xy
Multiplicamos ambos os lados por y e dx para isolar dy e dx :
y , dy = e^x , dx

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo com respeito a y :
integral y , dy = 12 y^2 + C1
E integrando o lado direito com respeito a x :
integral e^x , dx = e^x + C2
Então, juntando as integrações:
12 y^2 = e^x + C
Onde C = C2 - C1 é uma constante de integração.

Passo 4

Vamos agora resolver para y . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
y^2 = 2e^x + 2C
Podemos simplificar a constante 2C para apenas C (já que C é qualquer constante), então:
y^2 = 2e^x + C
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para isolar y :
y = raiz2e^x + C

Passo 5

Por fim, vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C .
Substituímos x = 0 e y = 1 na equação:
1 = raiz2e^0 + C
Sabendo que e^0 = 1 :
1 = raiz2(1) + C 1 = raiz2 + C
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 = 2 + C C = 1 - 2 C = -1

Resposta

Substituindo C = -1 na equação de y :
y = raiz2e^x - 1
Então, a solução da equação diferencial é:
y(x) = raiz2e^x - 1

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