Utilize Decomposição em Frações Parciais para calcular as integrais abaixo.
(b) ;
Passo 1
O enunciado pede calcular
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é integração de função racional e vamos precisar fatorar o denominador, decompor a fração em termos simples, encontrar as constantes e, por fim, integrar cada parcela.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
Logo podemos escrever
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes de e termos independentes, temos o sistema
Da segunda equação segue dá .
Passo 4
Substituindo A e B na decomposição, temos
x-12x(x-4) = 3x ;-; 2x-4
Portanto a integral se torna
integral x-12x^2-4x,dx = integral l(3x - 2x-4r) dx
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
integral 3x,dx = 3lnl|xr|, integral -2x-4,dx = -2lnl|x-4r|
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
3lnl|xr| - 2lnl|x-4r| + C
Resposta
integral x-12x^2-4x,dx = 3lnl|xr| ;-; 2lnl|x-4r| + C