Utilize Decomposição em Frações Parciais para calcular as integrais abaixo.
(b) integral x-12x^2-4 x d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral x-12x^2-4x,dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é integração de função racional e vamos precisar fatorar o denominador, decompor a fração em termos simples, encontrar as constantes e, por fim, integrar cada parcela.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2-4x = x(x-4)
Logo podemos escrever
x-12x(x-4) = Ax + Bx-4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes de e termos independentes, temos o sistema
Da segunda equação segue .

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição, temos
x-12x(x-4) = 3x ;-; 2x-4
Portanto a integral se torna
integral x-12x^2-4x,dx = integral l(3x - 2x-4r) dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral 3x,dx = 3lnl|xr|, integral -2x-4,dx = -2lnl|x-4r|
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
3lnl|xr| - 2lnl|x-4r| + C

Resposta

integral x-12x^2-4x,dx = 3lnl|xr| ;-; 2lnl|x-4r| + C

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