Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(sumi=1^n i)^2=sumi=1^n i^3

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita, a identidade
l(sumi=1^nir)^2 ;=;sumi=1^ni^3
O conteúdo é demonstração por indução, que envolve mostrar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Caso base ( n=1):
l(sumi=1^1ir)^2=l(1r)^2=1,
sumi=1^1i^3=1^3=1
Logo, para n=1 a identidade vale, pois ambos os lados são iguais a 1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 valha
l(sumi=1^kir)^2 ;=;sumi=1^ki^3

Passo 4

Passo indutivo ( kto k+1):
Começamos com o lado direito para n=k+1:
sumi=1^k+1i^3 =sumi=1^ki^3 ;+;(k+1)^3
Pela hipótese de indução, sumi=1^ki^3=l(sumi=1^kir)^2. E sabemos que
sumi=1^ki=k(k+1)2
Portanto,
sumi=1^k+1i^3 =l(k(k+1)2r)^2+(k+1)^3 =(k+1)^2l(k^24+(k+1)r)
No interior do parêntese:
k^24+(k+1) =k^2+4k+44 =(k+2)^24,
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sumi=1^k+1i^3 =(k+1)^2cdot(k+2)^24 =l((k+1)(k+2)2r)^2 =l(sumi=1^k+1ir)^2
Isso mostra que, se a propriedade vale para k, ela vale para k+1.

Passo 5

Pela base da indução e pelo passo indutivo, concluímos que a identidade
l(sumi=1^nir)^2 = sumi=1^ni^3
vale para todo ninN, n>=1.

Resposta

A igualdade l(sumi=1^nir)^2=sumi=1^ni^3 está demonstrada para todo n>=1 pelo Princípio de Indução Finita.

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