Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita, a identidade
O conteúdo é demonstração por indução, que envolve mostrar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Caso base (
):
Logo, para
a identidade vale, pois ambos os lados são iguais a 1.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo (
):
Começamos com o lado direito para :
Começamos com o lado direito para
Pela hipótese de indução,
. E sabemos que
Portanto,
No interior do parêntese:
logo
Isso mostra que, se a propriedade vale para
, ela vale para
.
Passo 5
Pela base da indução e pelo passo indutivo, concluímos que a identidade
vale para todo
,
.
Resposta
A igualdade
está demonstrada para todo
pelo Princípio de Indução Finita.