Quais dos seguintes subconjuntos de Z13^* são subgrupos deste grupo (relativo à operação de multiplicação)?
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12

Passo 1

O enunciado dá o grupo multiplicativo
Z13^*=bar1,bar2,dots,bar12
cuja ordem é 12, e o subconjunto
H=bar1,bar2,bar3,bar4,bar6,bar8,bar10,bar12
Queremos saber se H é um subgrupo de Z13^*.

Passo 2

Em um grupo finito, todo subgrupo deve ter ordem que divide a ordem do grupo (Teorema de Lagrange). Aqui
|H| = 8
e
|Z13^*| = 12
Como 8 não divide 12, não existe subgrupo de ordem 8 em um grupo de ordem 12.

Resposta

O conjunto bar1,bar2,bar3,bar4,bar6,bar8,bar10,bar12 não é subgrupo de Z13^*.

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