(yx+6 x) d x=(2-ln (x)) d y, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(yx+6xr),dx=(2-ln(x)),dy, x>0
Isso é uma equação linear em y. Vamos reescrevê-la na forma padrão
dydx+P(x),y=Q(x)
e usar o fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro isolamos tfracdydx. Dividindo ambos os lados por (2-ln(x)),dx obtemos
dydx =yx+6x2-ln(x) =yx,(2-ln(x))+6x2-ln(x)
Logo a equação fica
dydx-1x,(2-ln(x)),y =6x2-ln(x)

Passo 3

Identificamos
P(x)=-1x,(2-ln(x)), Q(x)=6x2-ln(x)
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(-integral1x,(2-ln(x)),dxr)
Fazendo a mudança t=2-ln(x), vem dt=-dx/x, então
integral1x,(2-ln(x)),dx =-integraldtt =-ln|t| =-ln(2-ln(x))
e
mu(x) =expl(-(-ln(2-ln(x)))r) =2-ln(x)

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=2-ln(x). O lado esquerdo fica
(2-ln(x))dydx-2-ln(x)x,(2-ln(x)),y =ddxl[(2-ln(x)),yr]
e o lado direito é
(2-ln(x))cdot6x2-ln(x)=6x
Portanto chegamos a
ddxl[(2-ln(x)),yr]=6x

Passo 5

Integrando ambos os lados em x,
(2-ln(x)),y=integral6x,dx=3x^2+C,
onde C é constante arbitrária. Assim
y=3x^2+C2-ln(x)

Resposta

y=3x^2+C2-ln(x), x>0

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