Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
d yd t=y(t y^3-1)

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO de primeira ordem
dydt=yl(t,y^3-1r)
por meio de uma substituição apropriada. Vamos reconhecer que se definirmos u=y^-3 conseguimos transformar a equação não linear em uma equação linear em u(t).

Passo 2

Fazendo a substituição
u = y^-3
temos
dudt = -3,y^-4,dydt
Como dydt=yl(t,y^3-1r), obtemos
dudt=-3,y^-4cdot yl(t,y^3-1r) =-3l(t - y^-3r) =-3,t +3,u

Passo 3

Reescrevendo obtemos a EDO linear em u:
dudt-3,u=-3,t

Passo 4

Para resolver usamos fator integrante mu(t)=e^-3t. Multiplicando ambos os lados da equação por e^-3t
e^-3tdudt-3,e^-3tu =ddtl(u,e^-3tr) =-3,t,e^-3t
Integramos em t:
u,e^-3t =integral -3,t,e^-3t,dt +C
Por partes,
integral t,e^-3t,dt =-tfrac13,t,e^-3t-tfrac19,e^-3t+K,
logo
integral -3,t,e^-3t,dt =,t,e^-3t+tfrac13,e^-3t+C
Portanto
u,e^-3t =t,e^-3t+tfrac13e^-3t+C,
e isolando u:
u=t+tfrac13+C,e^3t

Passo 5

Voltando à variável y, como u=y^-3, temos
y^-3=t+tfrac13+C,e^3t,
logo a solução geral é
y(t) =l(t+tfrac13+C,e^3tr)^-tfrac13

Resposta

boxedy(t)=l(t+tfrac13+C,e^3tr)^-tfrac13,
onde C é a constante de integração.

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