integral-2^3 x^2 e^x+sen(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-2^3l(x^2e^x+sin(3x)r),dx
Aqui usamos que a integral de uma soma é a soma das integrais, precisamos de:
  1. Antiderivada de x^2e^x (usa-se integração por partes).
  2. Antiderivada de sin(3x) (conhecida).
  3. Avaliar a primitiva nos limites -2 e 3.

Passo 2

Vamos achar
integral x^2e^x,dx
Aplicamos integração por partes com
u = x^2, dv = e^xdx Longrightarrow du = 2x,dx, v = e^x
Então
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - integral 2x,e^x,dx
Para integral 2x,e^xdx repetimos partes com u=2x, dv=e^xdx, obtendo
integral 2x,e^xdx = 2x,e^x - integral 2,e^xdx = 2x,e^x - 2e^x
Logo
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - l(2x,e^x - 2e^xr) = e^xl(x^2 - 2x + 2r) + C

Passo 3

Agora a primitiva de sin(3x) é direta:
integral sin(3x),dx = -13cos(3x) + C

Passo 4

Combinando, uma primitiva comum é
F(x) = e^xl(x^2 - 2x + 2r);-;13cos(3x)
Calculamos
F(3) = e^3l(9 - 6 + 2r) ;-;13cos(9) = 5e^3 - 13cos(9),
F(-2) = e^-2l(4 + 4 + 2r) ;-;13cos(-6) = 10e^-2 - 13cos(6)
Assim a integral é
F(3) - F(-2) = l(5e^3 - tfrac13cos(9)r) - l(10e^-2 - tfrac13cos(6)r)

Resposta

5e^3 ;-; 10e^-2;-;13cos(9);+;13cos(6)
ou equivalentemente
5e^3 - 10e^-2 + cos(6)-cos(9)3

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