Seja S a superfície de equação paramétrica r(u, v)=(sin u cos v, sin u sin v, cos u). Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0=r(pi4, pi4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica envolvendo superfícies parametrizadas. A gente tem uma superfície S definida pela equação paramétrica r(u, v)=(sin u cos v, sin u sin v, cos u) e precisa encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto P0=r(pi4, pi4). Para isso, vamos precisar calcular os vetores tangentes e usar o produto vetorial para achar a normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto P0. Substituindo u = pi4 e v = pi4 na equação paramétrica:
x = sin(pi4) cos(pi4) = raiz22 cdot raiz22 = 12
y = sin(pi4) sin(pi4) = raiz22 cdot raiz22 = 12
z = cos(pi4) = raiz22
Então, P0 = (12, 12, raiz22).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície no ponto P0. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função r(u, v) em relação a u e v.
Derivada em relação a u:
ru = (cos u cos v, cos u sin v, -sin u)
Derivada em relação a v:
rv = (-sin u sin v, sin u cos v, 0)

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto u = v = pi4.
Para ru:
cos(pi4) = raiz22, sin(pi4) = raiz22
ru(pi4, pi4) = (raiz22 cdot raiz22, raiz22 cdot raiz22, -raiz22) = (12, 12, -raiz22)
Para rv:
rv(pi4, pi4) = (-raiz22 cdot raiz22, raiz22 cdot raiz22, 0) = (-12, 12, 0)

Passo 5

Com os vetores tangentes ru e rv no ponto P0, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:
n = ru times rv
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 12 & 12 & -raiz22 -12 & 12 & 0 = i (12 cdot 0 - (-raiz22) cdot 12) - j (12 cdot 0 - (-raiz22) cdot (-12)) + k (12 cdot 12 - 12 cdot (-12))
Simplificando:
n = i (0 + raiz24) - j (0 - raiz24) + k (14 + 14)
n = (raiz24, raiz24, 12)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n = (raiz24, raiz24, 12) e o ponto P0 = (12, 12, raiz22), podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) e r0 = P0.
Substituindo os valores:
raiz24(x - 12) + raiz24(y - 12) + 12(z - raiz22) = 0

Passo 7

Vamos simplificar essa equação. Multiplicando todos os termos para eliminar os denominadores:
raiz24x - raiz28 + raiz24y - raiz28 + 12z - raiz24 = 0
Somando os termos semelhantes:
raiz24x + raiz24y + 12z - raiz28 - raiz28 - raiz24 = 0
raiz24x + raiz24y + 12z - raiz22 = 0
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
raiz2x + raiz2y + 2z - 2raiz2 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é raiz2,x + raiz2,y + 2,z - 2raiz2 = 0.

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