Seja a superfície de equação paramétrica . Determine a equação do plano tangente a no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica envolvendo superfícies parametrizadas. A gente tem uma superfície definida pela equação paramétrica e precisa encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto . Para isso, vamos precisar calcular os vetores tangentes e usar o produto vetorial para achar a normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto . Substituindo e na equação paramétrica:
Então, .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície no ponto . Para isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a e .
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para :
Para :
Passo 5
Com os vetores tangentes e no ponto , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
n = i (0 + raiz24) - j (0 - raiz24) + k (14 + 14)
n = (raiz24, raiz24, 12)
Passo 6
Agora que temos o vetor normal n = (raiz24, raiz24, 12) e o ponto P0 = (12, 12, raiz22), podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula: