integral 1-x+2 x^2-x^3x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1 - x + 2x^2 - x^3x,(x^2+1)^2 ,dx
O conteúdo principal é a integração de uma função racional pelo método de decomposição em frações parciais. Vamos primeiro decompor a função em termos mais simples e depois integrar cada pedaço.

Passo 2

Procuramos constantes A, B, C, D, E tais que
1 - x + 2x^2 - x^3x,(x^2+1)^2 = Ax + B,x + Cx^2+1 + D,x + E(x^2+1)^2
Multiplicando os dois lados por x,(x^2+1)^2, obtemos a identidade
1 - x + 2x^2 - x^3 = A,(x^2+1)^2 + x,(B,x + C),(x^2+1) + x,(D,x + E)

Passo 3

Vamos expandir cada termo e agrupar potências de x:
A,(x^2+1)^2 = A,x^4 + 2A,x^2 + A,
x,(B,x + C),(x^2+1) = B,x^4 + C,x^3 + B,x^2 + C,x,
x,(D,x + E) = D,x^2 + E,x
Somando tudo,
(A + B),x^4 + C,x^3 + (2A + B + D),x^2 + (C + E),x + A
Igualando aos coeficientes de 1 - x + 2x^2 - x^3, temos o sistema
A + B = 0, C = -1, 2A + B + D = 2, C + E = -1, A = 1
Daqui vem
A = 1, B = -1, C = -1, D = 1, E = 0

Passo 4

Substituindo os valores achados na decomposição, temos
1 - x + 2x^2 - x^3x,(x^2+1)^2 = 1x + -x - 1x^2 + 1 + x(x^2 + 1)^2
Logo a integral se separa em
integral 1x,dx ;-;integral xx^2+1,dx ;-;integral 1x^2+1,dx ;+;integral x(x^2+1)^2,dx

Passo 5

Calculamos cada parte:
  1. integral 1x,dx = lnl|xr|.
  2. integral xx^2+1,dx. Com a substituição u = x^2+1, du = 2x,dx, vem
    integral xx^2+1,dx = 12 integral duu = 12 lnl(x^2+1r)
  3. integral 1x^2+1,dx = arctan x
  4. integral x(x^2+1)^2,dx. Com u = x^2+1, du=2x,dx,
    integral x(x^2+1)^2,dx = 12 integral u^-2,du = -12u = -12(x^2+1)

Passo 6

Somando tudo (e lembrando dos sinais), a integral fica
lnl|xr| ;-;12lnl(x^2+1r) ;-;arctan x ;-;12(x^2+1) + C

Resposta

boxed lnl|xr| -12lnl(x^2+1r) -arctan x -12(x^2+1) + C

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