Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo principal é a integração de uma função racional pelo método de decomposição em frações parciais. Vamos primeiro decompor a função em termos mais simples e depois integrar cada pedaço.
Passo 2
Procuramos constantes
,
,
,
,
tais que
Multiplicando os dois lados por
, obtemos a identidade
Passo 3
Vamos expandir cada termo e agrupar potências de
:
Somando tudo,
Igualando aos coeficientes de
, temos o sistema
Daqui vem
Passo 4
Substituindo os valores achados na decomposição, temos
Logo a integral se separa em
Passo 5
Calculamos cada parte:
-
.integral 1x,dx = lnl|xr| -
. Com a substituiçãointegral xx^2+1,dx ,u = x^2+1 , vemdu = 2x,dx integral xx^2+1,dx = 12 integral duu = 12 lnl(x^2+1r) -
integral 1x^2+1,dx = arctan x -
. Comintegral x(x^2+1)^2,dx ,u = x^2+1 ,du=2x,dx integral x(x^2+1)^2,dx = 12 integral u^-2,du = -12u = -12(x^2+1)
Passo 6
Somando tudo (e lembrando dos sinais), a integral fica