Neste exercício você vai precisar usar que (n+1n)^n=(1+1n)^n undersetn inftylongrightarrow e.
O objetivo é calcular o limite das sequências an=(1+2n)^n e bn=(1-1n)^n.
Qual você acha que deve ser o limite da sequência cn=(1+kn)^n, com k in Z, k neq 0? (Não precisa provar)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites das sequências an = (1 + 2n)^n, bn = (1 - 1n)^n e, em geral, cn = (1 + kn)^n onde k é um número inteiro diferente de zero. Vamos usar o conceito de limite de uma sequência que se aproxima do número e, que é a base dos logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a sequência an = (1 + 2n)^n. Sabemos que (1 + 1n)^n tende para e quando n vai para o infinito. Aqui, temos 2n em vez de 1n, então podemos adaptar essa ideia.

Passo 3

Para adaptar, observe que (1 + 2n)^n = [(1 + 2n)^n2]^2. À medida que n cresce, n2 também cresce, então podemos usar a propriedade que (1 + 1m)^m tende para e quando m tende ao infinito. Nesse caso, m = n2, então a expressão dentro dos colchetes tende para e.

Passo 4

Portanto, [(1 + 2n)^n2]^2 approx e^2 quando n tende ao infinito. Assim, o limite de an é e^2.

Passo 5

Agora, vamos para a sequência bn = (1 - 1n)^n. Podemos reescrever isso como (1 + -1n)^n. Usando a mesma ideia que usamos para an, onde o termo dentro do parêntese tem a forma 1 + kn, mas agora k = -1.

Passo 6

Aplicando a propriedade de que (1 + kn)^n tende para e^k quando n vai para o infinito, substituímos k = -1. Assim, (1 - 1n)^n tende para e^-1.

Passo 7

Finalmente, para a sequência geral cn = (1 + kn)^n onde k é um inteiro diferente de zero, usamos a mesma propriedade. Conforme n cresce, kn fica cada vez menor, e a expressão inteira tende para e^k.

Resposta

limn to infty an = e^2, limn to infty bn = e^-1, e limn to infty cn = e^k

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