Neste exercício você vai precisar usar que
.
O objetivo é calcular o limite das sequências
e
.
Qual você acha que deve ser o limite da sequência
, com
? (Não precisa provar)
O objetivo é calcular o limite das sequências
Qual você acha que deve ser o limite da sequência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites das sequências
,
e, em geral,
onde
é um número inteiro diferente de zero. Vamos usar o conceito de limite de uma sequência que se aproxima do número
, que é a base dos logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a sequência
. Sabemos que
tende para
quando
vai para o infinito. Aqui, temos
em vez de
, então podemos adaptar essa ideia.
Passo 3
Para adaptar, observe que
. À medida que
cresce,
também cresce, então podemos usar a propriedade que
tende para
quando
tende ao infinito. Nesse caso,
, então a expressão dentro dos colchetes tende para
.
Passo 4
Portanto,
quando
tende ao infinito. Assim, o limite de
é
.
Passo 5
Agora, vamos para a sequência
. Podemos reescrever isso como
. Usando a mesma ideia que usamos para
, onde o termo dentro do parêntese tem a forma
, mas agora
.
Passo 6
Aplicando a propriedade de que
tende para
quando
vai para o infinito, substituímos
. Assim,
tende para
.
Passo 7
Finalmente, para a sequência geral
onde
é um inteiro diferente de zero, usamos a mesma propriedade. Conforme
cresce,
fica cada vez menor, e a expressão inteira tende para
.