integral 1(x-4)(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1(x-4)(x-1) , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais de funções racionais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em uma soma de frações mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 1(x-4)(x-1) como uma soma de duas frações parciais:
1(x-4)(x-1) = Ax-4 + Bx-1
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (x-4)(x-1) para eliminar os denominadores:
1 = A(x-1) + B(x-4)
Agora, podemos escolher valores de x que simplificam a equação.
Primeiro, vamos deixar x = 4:
1 = A(4-1) + B(4-4) Rightarrow 1 = 3A Rightarrow A = 13
Agora, vamos deixar x = 1:
1 = A(1-1) + B(1-4) Rightarrow 1 = -3B Rightarrow B = -13

Passo 4

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
1(x-4)(x-1) = 13x-4 + -13x-1 = 13(x-4) - 13(x-1)
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1(x-4)(x-1) , dx = 13 integral 1x-4 , dx - 13 integral 1x-1 , dx

Passo 5

As integrais são básicas e sabemos que:
integral 1x-a , dx = ln|x-a| + C
Aplicando isso, temos:
13 ln|x-4| - 13 ln|x-1| + C
Podemos simplificar isso combinando os logaritmos:
13 ln|x-4x-1| + C

Resposta

A integral vale 13 ln|x-4x-1| + C.

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