Seja
a sequência das frações decimais positivas próprias organizadas como indicado abaixo:
Escreva os cinco primeiros termos de uma subsequência
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de frações decimais positivas organizadas de forma crescente, começando com dez avos, passando por cento avos, mil avos e assim por diante. A matéria que vamos mexer aqui é sobre sequências e subsequências, especialmente focando no conceito de limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar uma subsequência que converge para um valor específico, que neste caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência principal está organizada. Ela começa listando frações como
, depois passa para
, e continua dessa forma aumentando o denominador. Isso significa que a cada “bloco”, o denominador aumenta de ordem de magnitude (dezenais, centenais, milenais, etc.), e listamos todas as frações possíveis com aquele denominador antes de passar para o próximo.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma subsequência dentro dessa sequência maior que se aproxime cada vez mais de
conforme avançamos nos termos. Para isso, podemos escolher termos da sequência principal que estejam cada vez mais próximos de
. Uma forma de fazer isso é pensar em representar
com denominadores cada vez maiores e escolher os numeradores que nos aproximam desse valor.
Passo 4
Vamos construir essa subsequência passo a passo. Queremos que cada termo da nossa subsequência seja uma fração que se aproxima de
. Podemos fazer isso escolhendo frações com denominadores como
,
,
, etc., e ajustando o numerador para que a fração fique perto de
. Por exemplo:
- Com denominador
: - Com denominador
: - Com denominador
: - Com denominador
: - Com denominador
:
Cada uma dessas frações está se aproximando cada vez mais de
Passo 5
Vamos agora listar os cinco primeiros termos dessa subsequência que criamos:
Cada termo está mais perto de
do que o anterior, e conforme continuamos, a fração ficará cada vez mais precisa em relação a
.
Resposta
Os cinco primeiros termos da subsequência são: