Seja (xn) a sequência das frações decimais positivas próprias organizadas como indicado abaixo:
(xn)=(110, 210, 310, 410, 510, 610, 710, 810, 910, 1100, 2100, ldots, 99100, 11000, 21000, 31000, ldots, 9991000, ldots)
Escreva os cinco primeiros termos de uma subsequência (xnk) tal que lim k infty xnk=13.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de frações decimais positivas organizadas de forma crescente, começando com dez avos, passando por cento avos, mil avos e assim por diante. A matéria que vamos mexer aqui é sobre sequências e subsequências, especialmente focando no conceito de limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar uma subsequência que converge para um valor específico, que neste caso é 13.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência principal está organizada. Ela começa listando frações como 110, 210, ldots, 910, depois passa para 1100, 2100, ldots, 99100, e continua dessa forma aumentando o denominador. Isso significa que a cada “bloco”, o denominador aumenta de ordem de magnitude (dezenais, centenais, milenais, etc.), e listamos todas as frações possíveis com aquele denominador antes de passar para o próximo.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma subsequência dentro dessa sequência maior que se aproxime cada vez mais de 13 conforme avançamos nos termos. Para isso, podemos escolher termos da sequência principal que estejam cada vez mais próximos de 13. Uma forma de fazer isso é pensar em representar 13 com denominadores cada vez maiores e escolher os numeradores que nos aproximam desse valor.

Passo 4

Vamos construir essa subsequência passo a passo. Queremos que cada termo da nossa subsequência seja uma fração que se aproxima de 13. Podemos fazer isso escolhendo frações com denominadores como 10, 100, 1000, etc., e ajustando o numerador para que a fração fique perto de 13. Por exemplo:
  • Com denominador 10: 310 = 0.3
  • Com denominador 100: 33100 = 0.33
  • Com denominador 1000: 3331000 = 0.333
  • Com denominador 10000: 333310000 = 0.3333
  • Com denominador 100000: 33333100000 = 0.33333
Cada uma dessas frações está se aproximando cada vez mais de 13 approx 0.33333ldots

Passo 5

Vamos agora listar os cinco primeiros termos dessa subsequência que criamos:
  1. 310 = 0.3
  2. 33100 = 0.33
  3. 3331000 = 0.333
  4. 333310000 = 0.3333
  5. 33333100000 = 0.33333
Cada termo está mais perto de 13 do que o anterior, e conforme continuamos, a fração ficará cada vez mais precisa em relação a 13.

Resposta

Os cinco primeiros termos da subsequência são:
(310, 33100, 3331000, 333310000, 33333100000)

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