integral0^2 pi / 3 tg x1+sen x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^2pi/3 tan x1+sin x,dx
O conteúdo envolvido é técnica de substituição u=sin x seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazendo u=sin x temos du=cos x,dx, logo
tan x,dx=sin xcos xdx=ucos x,dx=ucos^2 x,du =u1-u^2,du
Assim
tan x1+sin x,dx =u1-u^2cdot11+u,du =u(1-u)(1+u)^2,du,
com os limites em u indo de 0 até sin(2pi/3)=tfracraiz32.

Passo 3

Para decompor
u(1-u)(1+u)^2 =A1-u+B1+u+C(1+u)^2,
multiplicamos por (1-u)(1+u)^2 e obtemos
u = A(1+u)^2 + B(1-u)(1+u) + C(1-u)
Comparando coeficientes em 1, u e u^2 resulta
A=tfrac14, B=tfrac14, C=-tfrac12

Passo 4

O integral vira
integral0^raiz32 l(1/41-u+1/41+u-1/2(1+u)^2r),du
Integrando cada termo:
integraldu1-u=-ln|1-u|, integraldu1+u=ln|1+u|, integraldu(1+u)^2=-11+u
Logo a primitiva é
14l(-ln|1-u|r) +14ln|1+u| +12(1+u),
avaliada de 0 a tfracraiz32.

Passo 5

Em u=tfracraiz32:
1+u=tfrac2+raiz32, 1-u=tfrac2-raiz32, 12(1+u)=12+raiz3=2-raiz3
Em u=0 o logaritmo some e tfrac12(1+0)=tfrac12. Portanto
I =14ln2+raiz32-raiz3+(2-raiz3)-12
Como 2+raiz32-raiz3=7+4raiz3, obtemos
I=14ln(7+4raiz3)+32-raiz3

Resposta

integral0^2pi3tan x1+sin x,dx =14lnl(7+4raiz3r) +32-raiz3

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