integral0^1 x^3x^4+x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
integral0^1 x^3x^4+x^2+1,dx.
O conteúdo envolve técnica de substituição para reduzir o grau do polinômio e decomposição de fração, seguida de integração de função racional e uso de arctan.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2, logo du = 2x,dx.
Como x^3dx = x^2,x,dx = u,du2, o integral vira
integral0^1 x^3x^4+x^2+1,dx = 12integralu=0^1uu^2+u+1,du

Passo 3

Para integrar integral uu^2+u+1du, escrevemos
u = 2u+12 - 12,
logo
uu^2+u+1 = 12,2u+1u^2+u+1 - 12,1u^2+u+1
Assim
integral uu^2+u+1du = 12integral 2u+1u^2+u+1du - 12integral 1u^2+u+1du
A primeira parte é imediata:
integral 2u+1u^2+u+1du = lnl(u^2+u+1r)

Passo 4

Para
integral 1u^2+u+1du, completamos o quadrado:
u^2+u+1 = l(u+tfrac12r)^2 + 34,
portanto
integral 1u^2+u+1du = integral 1(u+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2du = 2raiz3,arctan!l(2u+1raiz3r)
Substituindo no Passo 3 e lembrando do fator tfrac12 do Passo 2, obtemos
integral0^1x^3x^4+x^2+1dx = 14l[lnl(u^2+u+1r) - 2raiz3arctan!l(2u+1raiz3r)r]0^1

Passo 5

Avaliamo a expressão de u=0 até u=1.
Em u=1: u^2+u+1=3 e arctan(tfrac2cdot1+1raiz3)=tfracpi3.
Em u=0: u^2+u+1=1 e arctan(tfrac1raiz3)=tfracpi6.
Logo
integral0^1x^3x^4+x^2+1dx = 14l[ln3 - 2raiz3cdotpi3 - l(0 - tfrac2raiz3cdottfracpi6r)r] = 14l[ln3 - pi3raiz3r]

Resposta

integral0^1 x^3x^4+x^2+1,dx = 14ln3 ;-;pi12raiz3

Exercícios relacionados