integral0^pi / 6 cos ^2 x cdot sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi/6 cos^2x,sen x,dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição para transformar em uma antiderivada mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = cos x,
de modo que
du = -sen x,dx Longrightarrow sen x,dx = -du

Passo 3

Transformamos os limites de integração: quando x=0, temos u=cos0=1; quando x=pi/6, temos u=cos(pi/6)=tfracraiz32. Assim,
integral0^pi/6 cos^2x,sen x,dx = integralx=0^x=pi/6 u^2,(-du) = -integralu=1^u=raiz32 u^2,du = integralu=raiz32^u=1 u^2,du

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^2:
integral u^2,du = u^33
Logo,
integralraiz32^1 u^2,du = u^33|u=raiz32^u=1 = 1^33 - l(raiz32r)^33

Passo 5

Agora simplificamos:
13 - l(raiz32r)^33 = 13 - 3raiz383 = 13 - 3raiz324 = 13 - raiz38

Resposta

13 - raiz38

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